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Avant de considérer l'équation en nombres entiers > 0: (E4): x4 + y4 = z4 , il n'est pas inutile de faire un rapide tour d'horizon de l'équation : (E2): x2 + y2 = z2.
Première Etape:
On peut ramener cette dernière équation au cas où les inconnues x , y et z sont des entiers premiers entre eux, et même, premiers deux à deux. Une simple considération de l'équation en utilisant les congruences modulo 4, montre alors que l'on peut supposer en plus, que x est impair, y est pair et z est impair. On pose alors y = 2y' , z + x = 2x' et z - x = 2z'. On vérifie sans problème que les entiers x' , y' et z' sont aussi premiers entre eux deux à deux.
En écrivant alors (E2) sous la forme  ou encore y'² = x'.z'.
Ceci montre alors que x' et z' sont des carrés, ce qui se voit en utilisant la décomposition de y' en facteurs premiers. Il existe donc deux entiers u et v premiers entre eux tels que:
x' = u² , z' = v² .
En revenant à la définition de x' et z', on voit alors que:
x = u² - v² et z = u² + v² et y = 2uv.
On vérifie alors que les triplets de la forme (x = u² - v², y = 2uv , z = u² + v² ) sont bien des solutions de (E2).
L'ensemble des solutions de (E2) est donc l'ensemble des triplets (x , y , z ) d'entiers tels qu'il existe des entiers u et v premiers entre eux et un entier k tels que :
x = k(u² - v²) et z =k( u² + v²) et y = 2kuv.
Deuxième Etape:
Considérons maintenant l'équation : (F) : X4 + Y4 = Z2 , avec X , Y et Z entiers > 0.
On peut voir que cette équation n'admet aucune solution alors (E4) n'admet aussi aucune solution. Effectivement, (E4) peut s'écrire : x4 + y4 = (z²)2.
L'équation (F) pouvant s'écrire : (X²)² + (Y²) = Z² , dire que (X , Y , Z ) est une solution de (F) revient à dire que (X² , Y² , Z) est une solution de (E2). Comme on peut toujours supposer que X, Y et Z sont premiers deux à deux et que X et Z sont impairs et Y pair, quitte à "diviser" par leur PGCD, d'après le rappel précédent sur les solutions de (E2) , on peut dire qu'il existe deux entiers U et V premiers entre eux tels que :
X² = U² - V² et Z = U² + V² et Y² = 2UV.
De la relation (X² = U² - V²) , on peut alors voir que le triplet (X , V , U) est aussi une solution de (E2) et que X, U et V sont aussi premiers entre eux deux à deux. Il existe donc deux entiers A et B tels que
X = A² - B² et U = 2AB et V = A² + B².
On obtient alors : Y² = 4AB(A² + B²) . Comme A et B sont premiers entre eux, il en est de même de A , B et (A² + B²). De la relation Y² = 4AB(A² + B²) , on peut alors dire que A, B et (A² + B²) sont des carrés. Il existe donc des entiers a , b et c tels que :
A = a² et B = b² et A² + B² = c².
On obtient alors la relation : (a²)² + (b²)² = c² ou encore a4 + b4 = c².
(a , b, c ) est donc une solution de (F).
Remarquons alors que c < c² et c² = A² + B² = V et V < U² + V² = Z.
Donc si (X , Y , Z) est une solution en entiers > 0 premiers entre eux de (F) alors il existe une autre solution (a , b , c) en entiers >0 premiers entre eux et avec de plus : c < Z.
On peut donc construire une suite de triplets d'entiers > 0 premiers entre (Xn , Yn , Zn) solutions de (F) avec (Zn) strictement décroissante.
Ceci est bien sur absurde.
Conclusion:
Il n'existe aucun triplet d'entiers > 0 vérifiant X4 + Y4 = Z2.
Donc, en particulier, il n'existe aucun triplet d'entiers > 0 vérifiant X4 + Y4 = Z4.
Cette démonstration utilise le principe
de la descente infinie due
à Fermat. On fait l'hypothèse qu'une équation
en nombres entiers positifs admet une solution, puis on montre
qu'il doit exister une autre solution "plus petite"
dans un certain sens. Ici, le critère de solution "plus
petite" porte sur Z.
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