L'équation en (a;b) 
(N)² : |a² - 3b²| = 1 : (P)
peut s'effectuer en utilisant des outils qui ne dépassent
pas le cadre d'une classe de terminale S.
La partie la plus simple est l'étude de "a²
- 3b² = -1" .
Effectivement, si (a , b) est une solution
entière de "a² - 3b² = -1" alors a²
= -1 modulo 3.
Or, les carrés modulo 3 (ou dans Z /3Z)
sont : 0 et 1 car 0² = 0 , 1² = 2² = 1 modulo 3.
Donc,
comme -1 = 2 modulo 3, on en déduit que -1 n'est pas un
carré modulo 3, donc que l'équation "a²-3b²=-1"
n'admet aucune solution avec (a ; b) dans N² .
La partie "a²-3b²=1 : (P3)"
est un plus délicate mais demande seulement
des connaissances sur les suites géométriques, quelques
principes de base d'arithmétique et un peu de patience.
L'équation (P3) peut s'écrire
(a - b
)(a + b) = 1
Comme les solutions cherchées sont (a ; b ) avec a et b
entiers, on a bien sur la solution triviale ( a = 1 ; b = 0).
L'étude
qui suit ne concerne que l'équation "a² - 3b²
= 1" et a pour but de montrer que des résultats classiques
sur ce style d'équation peuvent être obtenus sans de
grandes connaissances.
Etude de a²
- 3b² = 1.
Cette équation admet comme solution,
en plus de (a = 1 ; b = 0) , la solution
(a = 2 ; b =1). De plus,
si on appelle S l'ensemble des solutions de "a² - 3b²
= 1" avec a et b entiers positifs, on voit que pour tout b
dans N, il existe au plus un valeur a dans N telle
que (a ; b ) soit dans S.
On peut donc ranger les solutions de
"a² - 3b² = 1" suivant l'ordre croissant des
b et par la suite, on dira que la solution (a ; b) est plus petite
que la solution (c ; d) si b < d. Automatiquement, on a aussi
a < d.
Les solutions de "a² - 3b² = 1" se présentent
sous la forme d'une suite (an ; bn) avec
bn
< bn+1.
Un simple calcul montre alors que :
|
a0 = 1 |
b0 = 0 |
|
a1 = 2 |
b1 = 1 |
|
a2 = 7 |
b2 = 4 |
Ce sont donc les plus petits couples solutions de l'équation
" a² - 3b² = 1".
Résultat 1:
Si on pose Un = (2 + )n , alors Un = un + vn où un et vn sont deux entiers positifs tels
que
(un ; vn) soit solution de " a²
- 3b² = 1".
Démonstration:
Il suffit d'utiliser
la formule du binôme. On sépare alors le développement
de (2 + )n en deux parties.
La
première partie contient les exposant pairs de , la seconde partie les exposants impairs de . On peut le vérifier par récurrence. On écrit alors
(2 + )n = un + vn
où un et vn sont deux entiers positifs.
De plus, comme on constate sans difficulté,
et pour les mêmes raisons, que :
(2
- )n = un - vn
A partir de là, on a : (un
+ vn)(un - vn) = (2 + )n(2 - )n = 1
D'où : un² - 3vn² = 1.
A ce stade, on voit déjà que l'équation
"a² - 3b² = 1" admet une infinité de
solutions qui sont les
(un ; vn). L'ensemble
des solutions de S de la forme (un ; vn )
sera noté U.
Résultat 2:
Si (a ; b) est solution de "a² - 3b²
= 1" alors il existe un entier n positif tel que
(a + b ) = (2 + )n.
Démonstration:
L'ensemble des solutions de "a²
- 3b² = 1" contient une infinité de solutions de
la forme précédente
(un ; vn)
. La suite (vn) est croissante.
Soit
(a ; b) le plus petit élément de S à ne pas
être de la forme (a = un ; b = vn)
.
D'après les premières solutions données
au-dessus, on doit avoir b > 4 et a > 7.
Il existe donc
un entier unique n tel que vn <
b <
vn+1 .
On a donc, un < a <
un + 1.
De
là , on peut dire que : 0 < un + vn < a + b <
un + 1 + vn + 1
En divisant par 2 + , on obtient alors :
Comme a² = 3b² + 1 et b >
4, on a : a² < 3b² + b² = 4b²
donc, (2b - a) > 0.
De même, a² >
3b² donc 3a² > 9b² et donc 4a² > 9b²
d'où (2a - 3b) > 0.
De plus, un calcul sans difficulté montre que : (2a - 3b)² - 3(2b -a)² = a² - 3b² = 1.
Le couple ( 2a - 3b ; 2b - a) est donc un élément
de S plus petit que (a ; b).
D'après les relations (c)
, ce couple solution n'est pas dans U. On a donc une solution plus
petite que (a ; b), ce qui contredit le caractère minimal
de (a ; b).
Donc, toute solution (a ; b) est bien de la forme
(a = un ; b = vn). Ou encore S = U.
Donc,
si (a ; b) vérifie " a² - 3b² =1 " alors
il existe bien un entier n positif tel que
(a + b ) = (2 + )n.
On peut considèrer alors l'équation
"a² - 3b² = 1" comme résolue pour a et
b entiers naturels. Des relations : (a + b ) = (2 + )n et (a - b ) = (2 - )n , on en déduit alors que:
L'ensemble des solutions (an ; bn) de
"a² - 3b² =1", est donné par :
On peut remarquer que la relaion "a² - 3b² = 1"
implique, d'après le théorème de Bachet-Bezout,
que a et b sont premiers entre eux si a et b sont entiers > 0.
Les
entiers an et bn , pour n > 0 , sont
premiers entre eux.
Résultat 3:
Les suites (an)
et (bn) sont définies
par les
relations de récurrence :
"
a0 = 1 ; a1
= 2 et pour tout n entier naturel , an+2
= 4an+1 - an "
"
b0 = 0 ; b1 =
1 et pour tout n entier naturel , bn+2
= 4bn+1 - bn "
Ceci
se vérifie en utilisant les expressions an et
bn en fonction de n.
On peut aussi remarquer que l'ensemble
des suites réelles (Xn) vérifiant la relation :
"Pour
tout n entier naturel , Xn+2 = 4Xn+1 - Xn
" (R1)
contient les deux suites géométriques
(2 + )n et (2 - )n et l'ensemble des suites vérifiant (R1) est formé
des combinaisons linéaires de ces deux suites géométriques.
Résultat 4:
Si on pose , pour n >
0, 
, alors la suite (xn) converge vers .
On a donc une suite de fractions rationnelles irréductibles
tendant vers .
De plus, 
Démonstration:
Le couple (an
; bn) vérifie
l'égalité | (an + bn ) (an - bn ) |
= 1.
On a donc |(an
- bn )| < 1 . D'où : bn|xn
- | < 1.
Comme la suite (bn)
tend vers +oo
, on a alors la conclusion pour la limite de (xn) .
De
plus, | (an + bn ) (an - bn ) |
= bn² | (xn + )(xn -)
| = 1 .
D'où bn² | xn -
| < 1 . D'où la conclusion pour l'inégalité.
Résultat 5:
La suite
(xn) est décroissante à partir de n = 1 et l'inégalité
du résultat 4: peut être améliorée. Pour
tout n > 0 , on a : 
Ceci peut directement se voir en utilisant le fait que la suite (bn)
est croissante ainsi que la suite (an + bn)
et que bn ( an + bn
)(xn -
)
= 1 .
Remarque: La suite (xn) est formée
de réduites de .
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plus généraux sur les Equations de Pell , cliquez
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