|
Le calcul des premiers termes de cette suite donne les valeurs
suivantes:
U0 = 1 ; U1 = 1
U2 = (U0²
+ U1²)/1 = 2
U3 = (U0²
+ U1² + U2²)/2 = 3
U4
= (U0² + U1² + U2²
+ U3²)/3 = 5
..........
U10 = (U0²
+ U1² + U2² + .... + U9²)/9
= 267593772160
Si on continue le calcul, on voit assez vite que
les valeurs obtenues dépassent largement les capacités
de calcul d'un ordinateur "normal". Ainsi, U15
est de l'ordre de 10334.
La
question se pose alors
de savoir si, d'après la simple observation des premières
valeurs de cette suite, tous les termes Un sont entiers.
La
réponse est non.
Et voilà pourquoi!
Supposons que tous les termes de cette suite soient entiers.
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Calculs effectués
dans Z/43Z
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n
|
n²
|
1/n
|
Un
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Sn
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0
|
0
|
|
1
|
1
|
|
1
|
1
|
1
|
1
|
2
|
|
2
|
4
|
22
|
2
|
6
|
|
3
|
9
|
29
|
3
|
15
|
|
4
|
16
|
11
|
5
|
40
|
|
5
|
25
|
26
|
10
|
11
|
|
6
|
36
|
36
|
28
|
21
|
|
7
|
6
|
37
|
25
|
1
|
|
8
|
21
|
27
|
37
|
37
|
|
9
|
38
|
24
|
10
|
8
|
|
10
|
14
|
13
|
20
|
21
|
|
11
|
35
|
4
|
15
|
31
|
|
12
|
15
|
18
|
38
|
13
|
|
13
|
40
|
10
|
19
|
30
|
|
14
|
24
|
40
|
42
|
31
|
|
15
|
10
|
23
|
36
|
37
|
|
16
|
41
|
35
|
34
|
32
|
|
17
|
31
|
38
|
2
|
36
|
|
18
|
23
|
12
|
35
|
14
|
|
19
|
17
|
34
|
39
|
30
|
|
20
|
13
|
28
|
31
|
2
|
|
21
|
11
|
41
|
13
|
42
|
|
22
|
11
|
2
|
2
|
3
|
|
23
|
13
|
15
|
6
|
39
|
|
24
|
17
|
9
|
26
|
27
|
|
25
|
23
|
31
|
28
|
37
|
|
26
|
31
|
5
|
29
|
18
|
|
27
|
41
|
8
|
4
|
34
|
|
28
|
10
|
20
|
14
|
15
|
|
29
|
24
|
3
|
42
|
16
|
|
30
|
40
|
33
|
5
|
41
|
|
31
|
15
|
25
|
20
|
11
|
|
32
|
35
|
39
|
17
|
42
|
|
33
|
14
|
30
|
4
|
15
|
|
34
|
38
|
19
|
20
|
28
|
|
35
|
21
|
16
|
16
|
26
|
|
36
|
6
|
6
|
29
|
7
|
|
37
|
36
|
7
|
42
|
8
|
|
38
|
25
|
17
|
13
|
5
|
|
39
|
16
|
32
|
42
|
6
|
|
40
|
9
|
14
|
20
|
19
|
|
41
|
4
|
21
|
8
|
40
|
|
42
|
1
|
42
|
23
|
10
|
|
43
|
0
|
|
33
|
24
|
En
particulier, les termes d'indices inférieurs ou égal
à 43 sont entiers.
De la définition de la suite,
on a alors:
43U44 = (U0² + U1²
+ U2² + ... + U43²)
La somme
(U0² + U1² + U2²
+ ... + U43²) doit alors être divisible par
43.
Or 43 est premier. Ceci signifie que Z/43Z est un corps
et que tout élément non nul de ce corps admet un inverse.
Si
tous les termes Un de cette suite pour n <44 sont entiers, alors
la suite (Un) peut être définie modulo 43.
La table ci-contre donne en fonction
de n, les valeurs de n², de 1/n , de Un et de Sn=U0²+U1²+...+Un²
, modulo 43, c'est à dire dans Z/43Z.
On voit alors que S43
= 24 [43]
S43 n'est donc pas divisible par 43, donc
il y a une alternative simple:
- S44 n'est pas divisible
par 43
ou
- parmi les Un pour
n compris entre 1 et 43, il existe un non-entier.
Dans le premier cas, on peut alors dire que U44
n'est pas entier.
On a alors la conclusion:
Si pour tous les indices k ,
de k = 0 à 43, Uk
est entier
alors U44
n'est pas entier
D'où le fait qu'il existe au moins un
indice k < 44 tel que Uk
soit non-entier.
Bien sur, tous les élèments de calculs
présentés dans le tableau ci-contre, s'établissent
sans difficulté avec un logiciel comme Maple.
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