PROBLEME 12

Pour un promoteur immobilier, le coût de production, en millions d'euros, pour n maisons construites,
 0 < n < 30 , est donné par C(n) = 0,5n + 2 -1,5 ln(n + 1).
Chaque maison est vendue 400 000 euros.

Partie A:

Etude de la fonction f définie sur [0 ; 30] par f(x) = 0,5x + 2 - 1,5 ln(x + 1)
On appelle (C) la courbe représentative de f et (D) la droite d'équation y = 0,4x.
dans un repère orthogonal (). (unités : 0,5 cm en abscisses et 2 cm en ordonnées).
1: Etudier les variations de f et dresser son tableau de variation.
2: Montrez qu'il existe un point A de (C) où la tangente (D) est parallèle à (D).
    Précisez les cooronnées de A et donnez une équation de (D).
3: Complétez le tableau de valeurs suivants.
    Les calculs seront effectués à 0,01 près par defaut.

x

0

1

2

3

5

6

12

15

18

22

26

30

f (x)

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 
    Tracez alors la courbe de f ainsi que les droites (D) et (D) .
4: Répondez aux questions suivantes en vous servant du graphique obtenu.
   a) Combien y-a-t-il de points d'intersection entre (C) et (D)?
   b) En quelle valeur f admet-elle un minimum ? Quel est ce minimum ?
CORRECTION

Partie B :

 Le bénéfice réalisé par le promoteur immobilier, en millions d'euros est donné par:
                             B(n) = 0,4n - C(n).
On pose alors g(x) = 0,4x - f(x) pour x appartenant à [0 ; 30].
1:
    a) Etudiez les variations de g sur [0 ; 30 ].
    b) Montrez alors qu'il existe un réel unique x0 dans l'intervalle [0 ; 6] tel que g(x0) = 0
    c) Donnez un encadrement de x0 d'amplitude 10-1.
    d) A quoi correspond cette valeur x0 pour le promoteur ?
2:
    a) Déterminez la la valeur x1 pour la quelle g atteint son maximum.
    b) A quoi correspond cette valeur pour le promoteur ?
    c) Sur quel bénéfice peut-il au maximum compter ?
3: On pose, pour x appartenant à [0 ; 30 ]:
                                         F(x) = 0,25x² + 3,5x -1,5(x + 1)ln(x + 1)
     a) Vérifiez que F est une primitive de f sur [0 ; 30 ].
     b) Calculez alors .
     c) Expliquez alors pourquoi la moyenne des coûts de production du promoteur est
         5,677 millions euros à 1 000 euros près,
         s'il estime construire entre 0 et 30 maisons .
CORRECTION