Pour un promoteur immobilier, le coût de production, en millions d'euros, pour n maisons construites,
0 < n < 30 , est donné par C(n) = 0,5n + 2 -1,5 ln(n + 1).
Chaque maison est vendue 400 000 euros.
Partie A:
Etude de la fonction f définie sur [0 ; 30] par f(x) = 0,5x + 2 - 1,5 ln(x + 1)
On appelle (C) la courbe représentative de f et (D) la droite d'équation y = 0,4x.
dans un repère orthogonal (
). (unités : 0,5 cm en abscisses et 2 cm en ordonnées).
1: Etudier les variations de f et dresser son tableau de variation.
2: Montrez qu'il existe un point A de (C) où la tangente (D) est parallèle à (D).
Précisez les cooronnées de A et donnez une équation de (D).
3: Complétez le tableau de valeurs suivants.
Les calculs seront effectués à 0,01 près par defaut.
| x | 0 | 1 | 2 | 3 | 5 | 6 | 12 | 15 | 18 | 22 | 26 | 30 |
| f (x) |
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4: Répondez aux questions suivantes en vous servant du graphique obtenu.
a) Combien y-a-t-il de points d'intersection entre (C) et (D)?
b) En quelle valeur f admet-elle un minimum ? Quel est ce minimum ?
CORRECTION
Partie B :
Le bénéfice réalisé par le promoteur immobilier, en millions d'euros est donné par:
B(n) = 0,4n - C(n).
On pose alors g(x) = 0,4x - f(x) pour x appartenant à [0 ; 30].
1:
a) Etudiez les variations de g sur [0 ; 30 ].
b) Montrez alors qu'il existe un réel unique x0 dans l'intervalle [0 ; 6] tel que g(x0) = 0
c) Donnez un encadrement de x0 d'amplitude 10-1.
d) A quoi correspond cette valeur x0 pour le promoteur ?
2:
a) Déterminez la la valeur x1 pour la quelle g atteint son maximum.
b) A quoi correspond cette valeur pour le promoteur ?
c) Sur quel bénéfice peut-il au maximum compter ?
3: On pose, pour x appartenant à [0 ; 30 ]:
F(x) = 0,25x² + 3,5x -1,5(x + 1)ln(x + 1)
a) Vérifiez que F est une primitive de f sur [0 ; 30 ].
b) Calculez alors 
.
c) Expliquez alors pourquoi la moyenne des coûts de production du promoteur est
5,677 millions euros à 1 000 euros près,
s'il estime construire entre 0 et 30 maisons .
CORRECTION