Limites et Asymptotes: Liste 1: 4 exercices corrigés
Exercice 1: Voir la Correction
Déterminer
les limites suivantes:
Exercice
2: Voir la Correction
Pour x réel, on pose
.
On appelle (C) la courbe représentative de f dans le plan
muni d'un repère orthonormé.
1: Quel est l'ensemble
de défintion Df de f ? Etudiez alors les variations
de f .
2: Déterminez trois réels a, b
et c tels que pour tout réel x dans Df,
Montez alors que la droite (D) d'équation
"y = x -5 " est asymptote à (C).
Etudiez
la position de (D) par rapport à (C).
3: Etudiez la limite
de f en -1. Que peut-on en déduire?
4: Déterminez
les points d'intersection entre (C) et l'axe des abscisses.
5:
En prenant 
=
1,828 à 0,001 près et 
=
-3.828 à 0,001 près, tracez la courbe (C), les asymptotes
de (C), ainsi que les tangentes horizontales de (C).
Exercice 3: Voir la Correction
Soit f
une fonction définie sur l'intervalle ]0;+oo[ par
: 
où a, b et c sont des nombres réels.
On
sait que f est strictement croissante sur ]0;2] , strictement décroissante
sur [2;+oo[,
f(2)=-3 et f(1) = -4.
1: Formez
le tableau de signes de f '(x) sur ]0;+oo[.
Quel est le signe de f(x) pour x > 0?
2: Exprimez
f '(x) en fonction de a , b , c et x
.
Montrez alors que les réels
a , b et c sont solutions du système:
Déterminez
alors les réels a , b et c . Donnez l'expression
de f(x).
3: Montrer que la courbe de f admet deux asymptotes
à préciser.
Tracez l'allure de
la courbe de f ainsi que ses asymptotes.
Exercice 4: Voir la Correction
On pose,
pour x réel , .
(C) est la courbe représentative dans le plan muni d'un repère
orthonormé.
1: Justifiez que f(x) est bien défini
pour tout réel x.
2: Calculez la fonction
dérivée de f , f '(x).
Montrez
que pour x < 0 , on a : f '(x) < 0.
Montrez
que pour x > 0 , on a : f '(x) <0.
Donnez alors le tableau de variation de f sur R.
3: Montrez
que pour tout x < 0 , on a :
Déterminez
alors : 
. Que
peut-on en déduire pour la courbe de f ?
4: Montrez que
pour tout x > 0 , on a: 
Déterminez
alors : 
. Que
peut-on en déduire pour la courbe de f ?
5: Tracez l'allure
de la courbe de f ainsi que les droites d'équation "y=
-3x+1" et "y= -x+1".
(on
admet que la courbe de f est située au-dessus de ces deux
droites)