1. 1. Vérifiez que la fonction dérivée de f est définie par
      

      f¢(x) =  x2+2x+3 (x+1)2

   2. Etudiez alors les variations de f sur ]-1;+¥[.
   3. Déterminez la limite de f(x) si x tend vers -1.
   4. Montrez qu'existe 3 réels a , b et c tels que pour tout x > -1 ,
      

      f(x) = ax+ b +  c x+1

   5. Montrez alors que la droite D d'équation "y=x+1" est asymptote à C_f.
   6. Etudiez la position de D par rapport à C_f.

2.  

   1. Montrez qu'il existe un point A de C_f tel que la tangente T_A au point A à C_f soit parallèle à la droite d'équation y=[ 3/2]x.
   2. Vérifiez que l'équation de la tangente à C_f en A est "y= 1,5x-0,5"

3. Tracez la courbe C_f , T_A , et les asymptotes de C_f.

Exercice 2:
f est une fonction définie et dérivable que l'intervalle [0 ; 3].
On sait que:

• f est strictement croissante sur [0;1], strictement décroissante sur [1;2] et strictement croissante sur [2;3]
• La courbe de f passe par les points A, B, C et D de coordonnées respectives (0,1) , (1,3) , (2,0) (3,1).
• la tangente à la courbe de f au point E d'abscisse [ 1/2] a pour équation y=2x-[ 1/2].

1. Donnez le tableau de variations de f.
2.  

   1. Donnez les valeurs suivantes: f(0) , f(1) , f(2) , f(3) , f¢(1) , f¢(2) .
   2. Déterminez les valeurs de f([ 1/2]) et f¢([ 1/2]).
   3. La tangente T₃ à la courbe de f au point D passe par le point F de coordonnées (2,-2).

      1. Jusitifiez alors que f¢(3)=3.
      2. Donnez une équation de cette tangente T₃ .

   4. Tracez l'allure de la courbe de f en précisant toutes les informations précédentes.

Exercice 3
Déterminez les limites suvantes:

I = lim x® +¥   2x+2 x2+1         J = lim x ®-¥   x2-1 x+1         K = lim x ® 1+   x2-4 x-1