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CORRECTION EXERCICE 2:     liste 1 Proba

On peut remarquer que l'univers W est l'ensemble des réultats possibles du lancer des deux dés.
W est donc le produit cartésien D1 x D2. Son cardinal est alors 36.
Comme il y a équiprobabilité, pour tout événement A, on a:

P(A)=

Card(A)

Card(W)

1.

 

a:

On peut remarquer que les lois des variables aléatoires X1 et X2 sont identiques.
La variable X1 prend les valeurs k = 1 , 2 , 3 , 4 , 5 ou 6 avec pour chacune d'entre elles,
.
L'espérance de X1 est donc :

De même, L'epérance de X2 est E[X2] = 3,5.
On sait que E[X1 + X2] = E[X1] + E[2] donc, comme S = X1 + X2 , on a E[S] = 7. 

b:

Le plus simple, pour déterminer la loi de probabilité de S, est de faire un tableau.

S

1

2

3

4

5

6

1

2

3

4

5

6

7

2

3

4

5

6

7

8

3

4

5

6

7

8

9

4

5

6

7

8

9

10

5

6

7

8

9

10

11

6

7

8

9

10

11

12
Les valeurs que peut prendre la variable S sont k = 2 , 3 , 4 , 5 , 6 , 7 , 8 , 9 , 10 , 11 , 12.
Le tableau de la loi de probabilité de S est :
 

S=k

2

3

4

5

6

7

8

9

10

11

12

P(S = k)

1

36

2

36

3

36

4

36

5

36

6

36

5

36

4

36

3

36

2

36

1

36
L'espérance de S est alors, après un simple calcul :
 E[S] = S P(S=k).k = 7

 2.

 

 a:

P est la variable aléatoire définie par " P = plus grand des deux numéros obtenus".
On forme alors le tableau suivant:

P

1

2

3

4

5

6

1

1

2

3

4

5

6

2

2

2

3

4

5

6

3

3

3

3

4

5

6

4

4

4

4

4

5

6

5

5

5

5

5

5

6

6

6

6

6

6

6

6

P peut donc prendre les valeurs k = 1 , 2 , 3 , 4 , 5 ou 6 et son tableau de loi de probabilité est :
 

P = k

1

2

3

4

5

6

Pr( P = k)

1

36

3

36

5

36

7

36

9

36

11

36

 b:

Un simple calcul montre alors que :

E[P]   =  S Pr( P = k).k    =

1*1 + 3*2 + 5*3 + 7*4 + 9*5 + 6*6

36

=

161

36

 3.

 

 a:

On peut remarquer que la somme des numéros obtenus lors du lancer des deux dés est égale à P + M.
Donc, la relation entre S, P et M est :    S = P + M.
On sait que E[S] = E[P] + E[M] donc E[M] = E[S] - E[P].

D'où E[M] = 7-

161

36

=

91

36

 b:

Pour déterminer la loi de probabilité de M, on forme le tableau suivant:

M

1

2

3

4

5

6

1

1

1

1

1

1

1

2

1

2

2

2

2

2

3

1

2

3

3

3

3

4

1

2

3

4

4

4

5

1

2

3

4

5

5

6

1

2

3

4

5

6

 

 La loi de probabilité de M est alors:

 

M = k

1

2

3

4

5

6

P(M=k)

11

36

9

36

7

36

5

36

3

36

1

36

 

 L'espérance de M est donc:

 

E[M] = S P(M=k).k =

11*1 + 9*2 + 7*3 + 5*4 + 3*5 + 1*6

36

=

91

36

 

 On retrouve bien le résultat précédent.