Retour à l'Exercice  Correction Exercice 1 Liste 5 Probabilité

Commençons, même si cela n'est directement demandé, par traduire dans le langage des probabilités l'énoncé.

• "la probabilité que l' alarme se déclenche par erreur, sans incident = 1/50"
  signifie que P( A ) = 1/50 = 0,02.
• "la probabilité qu'il y ait un incident sans que l'alarme se déclenche = 1/500"
  signifie que P( I ) = 1/500 = 0,002.
• "la probabilité qu'il se produise un incident = 1/100"
  signifie que P( I ) = 1/100 = 0,01.

A)
1: On veut la probabilité de l'événement (A I ) .
    Or, comme A et forment une partition de l'univers, on a:  P( I ) = P( I ) + P(A I ) .
    D'où  0,01 = 0,002 + P( A I ) et P( A I ) = 0,008.

2: Le système d'alarme est mis en défaut dans deux cas: si il se déclenche sans incident, ou s'il ne se déclenche pas alors qu'il y a un incident.
Ceci correspond aux événements : ( A )   ou   ( I ).
D'où, comme ces deux événements sont incompatibles , on a:
Donc, la probabilité que le système alarme soit mis en défaut est:
                             P( A ) + P( I ) = 0,02 + 0,002 = 0,022.

3: On veut la probabilité de l'événement conditionnel " I sachant A"
Or , P( "I sachant A" ) = P(A I ) / P(A) .
De plus, P(A) = P(A I ) + P(A ) = 0,008 + 0,02 = 0,028
D'où P("I sachant A") = 0,008 / 0,028 = 2 / 7.

B)
X peut prendre les valeurs 5000 , 15000 et 1000.
"X = 5000" correspond à l'événement  "A I "   donc  P("X=5000") = 0,008
"X = 15000" correspond à l'événement " I" donc    P("X = 15000")=0,002
"X = 1000" correspond à l'événement "( A )   ou   ( I )" d'où P("X = 1000") = 0,022.
La loi de probabilité de X est alors déterminée.

Pour le coût journalier moyen des anomalies, on cherche l'espérance de X. Or
                                  E[X] = S P(X=k)*k
D'où,   E[X] = 0,008*5000 + 0,002*15000 + 0,022*1000 = 92 .
Coût moyen des anomalies  = 92 Francs