Liste 2: 3 Exercices Bac ES Corrigés : Thèmes Probabilités Conditionnelles et Variable Aléatoire

Exercice 1:Amérique du Nord Juin 1999 Bac ES
Une salle de spectacle propose pour la saison des abonnements pour 4 , 5 ou spectacles.
Dans la population des abonnés la répartition est la suivante:

43,5% ont choisi l'abonnement 4 spectacles;
33% ont choisi l'abonnement 5 spectacles;
le reste a choisi l'abonnement 6 spectacles.

D'autre part, 65% des abonnés sont des jeunes de moins de 25 ans, et dans cette population, la répartition est différente :

40% ont choisi l'abonnement 4 spectacles;
40% ont choisi l'abonnement 5 spectacles;
le reste a choisi l'abonnement 6 spectacles.

On interroge un abonné au hasard.

On note A l'événement : " l'abonné interrogé a moins de 25 ans ".
Ainsi, la probabilité p(A) de cet événement est 0,65.
On note B l'événement : " l'abonné interrogé a choisi 5 spectacles ".
Pour tout évenement V , on note l'événement contraire de V.

.
1. Quelle est la probabilté que l'abonné interrogé ait 25 ans ou plus?
2. Sachant que l'abonné interrogé a moins de 25 ans, quelle la probabilité qu'il ait choisi 5 spectacles?
3. Décrire l'événement A B et démontrer que la probabilité de cet événement est égale à 0,26.
.
1. Démontrer que la probabilité p( B) est égale à 0,07.
2. En déduire la probabilité conditionnelle de B sachant que est réalisé.
L'abonnement pour 4 spectacles coût 50 euros, celui pour 5 spectacles coûte 60 euros, et celui pour 6 spectacles coûte 70 euros.
On appelle X la variable aléatoire égale à la somme dépensée par l'abonné interrogé.
1. Donner la loi de probabilité de X en complétant le tableau suivant:

Xi	50	60	70
p(X = Xi)

Calculer l'espérance de X.

Exercice 2: Nouvelle-Calédonie Décembre 98 Bac ES
Au cours d'une kermesse, l'animateur d'un stand dispose, dans un enclos, de douze cages peintes:
sept sont blanches, deux noires et les trois autres vertes.
L'animateur place alors une souris dans l'enclos. On suppose qu'à chaque jeu, la souris choisit d'entrer au hasard dans une cage et que tous les choix sont équiprobables.
Un joueur participe au jeu. Le réglement du jeu est le suivant:
- Si la souris entre dans une cage blanche, le joueur perd;
- Si la souris entre dans une cage noire, le joueur gagne,
- Si la souris entre dans une cage verte, l'animateur remet la souris dans l'enclos;
        si la souris entre alors dans une cage noire, le joueur gagne sinon il perd.

On suppose que le choix de la deuxième cage est indépendant du choix de la première.

1. Montrez que la probabilité de l'événement " le joueur gagne " est : .

2. Un joueur possède 10 F qu'il verse pour participer à une partie. S'il gagne, il reçoit k francs; sinon, il ne reçoit rien.
    Soit X la variable aléatoire prenant pour valeur la somme que possède le joueur après la partie.
a: Déterminez la loi de probabilité de la variable aléatoire X.
b: Calculez, en fonction de k, l'espérance mathématique E[X] de  la variable aléatoire X.
c: Quelle valeur faut-il donner à k pour que le jeu soit équitable?
    (c'est à dire pour que ce joueur puisse espérer possèder 10 F à la fin de la partie)

 Exercice 3: Polynésie Septembre 98 Bac ES
Un patineur participe à une compétition. Deux de ses saut l'inquiètent. Il ne réussit le premier saut que dans 95% des cas. Comme il est émotif, s'il ne réussit pas ce premier saut, il rate le deuxième 3 fois sur 10; sinon, si tout va bien au premier saut, il réussit le deuxième dans 90% des cas.
On notera   l'événement contraire d'un événement A.

Soit R1 l'événement : "le patineur réussit le premier saut ".
Soit R2 l'événement : "le patineur réussit le deuxième saut".

1.
    a:  Calculez la probabilité de l'événement R2.
    b: Calculez la probabilité de l'événement R2 sachant que R1 est réalisé.
    c: Calculez la probabilité de l'événement R2 sachant que R1 n'est pas réalisé.

2. Déterminez la probabilité de l'événement : "le patineur réussit les deux sauts".

3.
    a: Calculez la probabilité de l'événement R2.
    b: Un spectateur, arrivé en retard, voit le patineur réussir le deuxième saut.
        Calculez la probabilité qu'il ait aussi réussi le premier saut.

4. Manquer le premier saut fait perdre 0,1 point, manquer le deuxième saut fait perdre 0,2 point.
    Le réglement prévoit que les pénalités s'ajoutent.
    Soit X la variable aléatoire donnant le total des pénalités obtenues par ce patineur
    lors de la compétition.
    a: Déterminez la loi de probabilité de X.
    b: Calculez l'espérance mathématique de X.
        Quelle interprétation peut-on en faire?