Liste 3 : 3 Exercices Bac ES Corrigés : Thème Variables Aléatoires

Exercice 1 : Loi de Probabilité, Espérance.
 On lance deux dés  D₁ et D₂ parfaitement équilibrés dont les faces sont numérotées de 1 à 6.
     On note

X₁ le numéro obtenu en lançant le dé D₁,
X₂ le numéro obtenu en lançant le dé D₂,
S la variable aléatoire égale à la somme des deux numéros obtenus,
P la variable aléatoire égale au numéro le plus grand obtenu ,
M la variable aléatoire égale au numéro le plus petit obtenu.

a:  Calculez l'espérance de X₁ et l'espérance de X₂.
      Quelle relation y-a-t-il entre X₁ , X₂ et S? Quelle est l'espérance de S?
b: Déterminez la loi de probabilité de S. On présentera les résultats sous forme de tableau.
     Retrouvez alors directement l'espérance de S.

2.
a: Déterminez la loi de probabilité de P. Pour cela, on peut s'aider du tableau suivant en le complètant
    avec les valeurs que prend la variable P.

 Résultat du dé D₁

 b:  Vérifiez alors que l'espérance de P est : E[ P ] =

3.
a: Quelle relation simple a-t-on entre M, P et S?
b: Quelle est l'espérance de M?
c: Déterminez la loi de probabilité de M. Retrouvez alors le résultat précédent.

Exercice 2 : Maroc-Tunisie Bac ES 95
Une étude a été faite sur la fréquentation du cinéma dans une ville française pendant un mois.
Dans cette ville, 25% des habitants sont dans la tranche d'âge 0-14 ans (les "enfants") et 25% des habitants sont dans la tranche d'âge 15-25 ans (les "jeunes").
Les autres habitants seront dits "adultes".
On choisit un habitant de cette ville au hasard.
On note E, J , A les événements suivants:
E : " l'habitant est un enfant"
J : " l'habitant est un jeune"
A : "l'habitant est un adulte"
On appelle X la variable aléatoire égale au nombre de séances auxquelles l'habitant choisi a assisté pendant un mois.
L'étude mené permet d'établir les tableaux de probabilités conditionnelles suivants:

1. Déterminez la probabilité pour que l'habitant choisi
    a: soit un adulte
    b:  soit un jeune et aille deux fois par mois au cinéma.

2. Calculez la probabilité pour que l'habitant choisi aille deux fois par mois au cinéma.

3.
   a: Déterminez la loi de probabilité de X.
   b: Calculez l'espérance de X. Interprétez le résultat obtenu.

Exercice 3 : D'après National Bac Es Juin 95
Un boulanger fabrique des pains de campagne qui doivent peser, en théorie, 600 grammes.
On désigne par X la variable aléatoire qui prend pour valeur les poids possibles des pains de campagne, exprimés en grammes et arrondis à 10 grammes près.
Le tableau suivant indique la probabilité p_i de l'événement X = x_i.

 Exemple de lecture: la probabilité qu'un pain choisi au hasard pèse 590 grammes est 0,25.

1: Calculez l'espérance de X et l'écart-type de X.

2: Un client achète un pain de campagne. Quelle est la probabilité que son pain pèse au moins 600 grammes?

3: Un contrôleur du service de la Répression des fraudes entre dans la boulangerie et prélève, au hasard, dix pains de campagne. On fait l'hypothèse que le nombre de pains fabriqués est très grand et que le fait de prélever dix pains parmi eux ne change pas les probabilités.
    a: Quelle est la probabilité d'avoir exactement un pain de 580 grammes?
    b: Quelle est la probabilité d'avoir au plus un pain de plus de 580 grammes?
    c: Le contrôleur prélève n pains. Quelle doit être la valeur minimale de n pour que la probabilité d'avoir au plus un pain
        de 580 grammes soit supérieure ou égale à 0,9999?