Liste 4 : 3 Exercices Bac ES : Théme Variable Alétoire et Fonction de Répartition

Exercice 1:
On définit les deux variables aléatoires X et Y par leurs lois de probabilités données par les tableaux suivants.

On suppose que les deux variables X et Y sont indépendants, ce qui signifie que pour tout x et tout y, on a:
P(X = x et Y = y) = P(X = x).P( Y = y).

1. Calculez l'espérance de X et l'espérance de Y.
    Définissez la fonction de répartition F_X de X, puis la fonction de répartition F_Y de Y.
    Représentez graphiquement ces deux fonctions.

2. On définit la variable aléatoire Z par : Z  = X + Y.
    a:En utilisant le tableau suivant, déterminez les valeurs que peut prendre Z
       puis indiquez la loi de probabilité de Z.

     b: Calculez alors l'espérance de Z. Retrouvez ce résultat en utilisant la question 1.
     c: Définissez la fonction de répartition F_Z de Z et représentez graphiquement cette fonction.
         Déterminez la plus petite valeur x telle que F_Z(x) > 0,50.

Exercice 2 : National Bac ES Juin 2000
En 1998 un constructeur automobile français a vendu dans la catégorie "petites voitures"
283 049 véhicules répartis de la façon suivante:

• 86 214 du modèle A,
• 166 937 du modèle B,
• le reste du modèle C.

Le constructeur estime que la probabilité de choix d'un de ces modèles par un client ayant l'intention d'acheter une voiture de cette catégorie, est égale à la fréquence de vente de ce modèle dans la catégorie "petites voitures" de cette marque.

Les résultats seront arrondis à trois décimales.

1: Déterminer la probabilité qu'un client acheteur choisisse le modèle B.
Quelle est la probabilité qu'il ne choisisse pas le modèle B?

2: Trois clients achètent un véhicule dans la catégorie "petites voitures", leur choix se fait de façon indépendante.
On appelle X la variable aléatoire donnant le nombre de clients parmi les trois qui achètent le modèle B.

a: Construire un arbre de probabilité et déterminer la loi de probabilté de X.
b: Calculer l'espérance mathématique de X.

3: Représenter la fonction de répartition de X.

4: Quelle est la probabilité pour qu'au plus deux clients sur trois achètent un modèle B ?  

Exercice 3: Amérique de Nord Bac L 1997
Un joueur dispose d'un jeu de 32 cartes. Ce jeu est constitué de 4 couleurs (pique, coeur, carreau, trèfle); chaque couleur compte un as, 3 figures (roi, dame, valet) et 4 autres cartes (7,8,9,10).
Le joueur tire une carte;

s'il obtient un as, (événement A₁), il gagne 3 F
s'il obtient une figure (événement B₁), il perd 1F
s'il obtient une autre carte (événement C₁), il la remet dans le jeu et tire de nouveau une carte:
s'il obtient un as (événement A₂), il gagne 4 F
s'il obtient une figure (événement B₂), il perd 2 F
s'il obtient une autre carte (événement C₂), le jeu est arrêté, sans gain ni perte.

On suppose que, lors d'un tirage, chaque carte a la même probabilité d'apparition.
Soit X la variable aléatoire égale au gain algébrique du joueur.
1. Déterminez la loi de probabilité de X (on pourra remarquer en particuler que P( X = -2) = )
2. Définissez la fonction de répartition de X et construisez sa courbe représentative.
3. Calculez l'espérance de X.   
4. Le joueur ne veut pas joueur si son espérance de gain n'est pas nulle. Il demande donc à pouvoir changer son gain dans le cas où il tire un as dès son premier choix de carte, sans pour autant changer les valeurs des autres gains (ou perte!).
     Quelle doit être cette nouvelle valeur pour qu'il en soit ainsi ?