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Correction Exercice Spécialité Bac ES 2001

1. D'après la formule A, on verse 10 000 F de droit d'entrée puis 500 F par an.
   Donc, pendant n années, la somme versée avec la formule A est:
                               Tn = 10 000 +  n.500
   
    
2. C_n+1 = 1,1C_n - 50  et  D_n = C_n + a où a est un réel.
   La suite (D_n) est géométrique si il existe un réel q tel que pour tout entier n, D_n+1 = qD_n.
   Or,   D_n+1 = C_n+1 + a
                     =  1,1C_n - 50 + a
                     =  1,1(D_n - a ) + 50 + a
                     = 1,1D_n - 50 + 0,1a .
   Il suffit donc de choisir a  tel que (-50 + 0,1a  = 0) pour que la suite soit géométrique, ce qui donne a = -500. Le terme initial de cette suite (D_n) est alors D₁ = 500.
   
   
3. a: (D_n)  est géométrique de raison 1,1 donc l'expression de D_n en fonction de n est:
       D_n = D₁.(1,1)^n-1 = 500.(1,1^)n-1  et donc celle de C_n est :
       C_n = D_n + 500  =  500 + 500.(1,1)^n-1.
   b: Par définition de S_n, on a :
        
   
   c: On pose l'équation S_n > T_n et on obtient alors n= 12.
       On peut, pour résoudre cette équation, passer par la fonction logarithme.