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Correction Problème ES 2001    
Partie A
  1. La dérivée de f est :
     .
    Cette fonction est donc strictement croissante sur l'intervalle d'étude.
    De plus, on sait que :
     
    On en déduit alors que la fonction tend vers + [Maple Math] car (1,1x) tend vers +[Maple Math]si x tend vers +[Maple Math].
  2. On remarque, que :
     
    que la droite (D) d'équation "y = 1,1x" est bien asymptote à (C).
    De plus, pour tout x > 1 , on a : f(x) - 1,1x = ln(x) - ln(x +1).
    Comme x < x +1 et que la fonction ln est strictement croissante, on peut dire que
    ln(x) < ln(x + 1) pour tout x > 1.
    Donc, on a : f(x) - 1,1x < 0.
    De là, on peut dire que (C) est en-dessous de (D) .
  3.    Courbe de f , de g , Asymptote, Aire.
    img1.gif 

Partie B

  1. La dérivée de g est :

    Comme x est > 1 , on a : 1,1x² - 1 > 0 . La dérivée de g est donc > 0 donc g est strictement croissante sur [1 ; [Maple Math][
    La limite de g en +[Maple Math] est +[Maple Math]. Sans difficultés.
  2. Comme , on peut dire que (D) est aussi une asymptote à (C') en +[Maple Math].
    (D) est en-dessous de (C'). (Sans difficultés).
  3. Voir figure au-dessus.
  4. Un simple calcul de dérivée, en utilisant (UV)' = U'V + UV' , montre alors que :
    H '(x) = ln(x +1) - ln(x).

     F(x) = ln(x) + H(x).
  5. L'intégrale demandée est alors égale à : F(5) - F(1) = -4ln(5)+4ln(2)+6ln(3)
    Cette intégrale correspond à l'aire, en unité d'aire, de la partie du plan limitée par,
    - les droites d'équations x = 1 et x = 5
    - les courbes (C) et (C ').
    Cette partie du plan est en bleu sur la figure.

Partie C

  1. La demande n'est jamais satisfaite car, d'après ce qui a été vu dans les parties précédentes, on a pour tout t > 1 , f(t) < 1,1t < g(t).
  2. Cette question ne fait que reprendre l'intégrale vue dans la partie B.
    On voit alors qu'un valeur approchée de cette intégrale est : 2.926510808
    Comme on veut un nombre d'objets à l'unité près, ce nombre est 2926 ou 2927 suivant l'arrondi effectué.
  3. On admet que i = g - f est décroissante sur [1 ; [Maple Math][
    En effectuant une recherche à l'aide d'une machine, on constate que i(99) > 0,02
    et i(100) < 0,02.
    C'est donc à partir de la semaine 100 que le niveau de fabrication est suffisant.