Exercice 1: (4 points):   Voir la CORRECTION
Une université propose aux étudiants trois orientations et trois seulement: une filière A, une filière B et une filière C. Chaque étudiant de l'université est inscrit dans une des trois filières et une seule.
Les effectifs de la filière A sont le double de ceux de la filière B.
Les effectifs de la filière B sont le triple de ceux de la filière C.
On sait de plus que:
- 20% des étudiants de la filière A sont des filles;
- 30% des étudiants de la filière B sont des filles;
- 40% des étudiants de la filière C sont des filles.
On choisit au hasard un étudiant  de cette université.
On note A l'événement: l'étudiant est inscrit dans le filière A. De même pour B et C.
On note F l'événement: l'étudiant est une fille; G l'événement: l'étudiant est un garçon.

1: Calculez les probabilités des événements A, B et C; on vérifiera que p(B) = 0,3.
2: Calculez la probabilité que l'étudiant soit inscrit dans la filière A et soit une fille.
    Montrez que p(F) = 0,25.
3: Calculez la probabilité que l'étudiant soit inscrit dans la filière A sachant que c'est une fille.
4: L'étudiant, choisi au hasard, n'est pas inscrit dans la filière A.
    Calculez alors la probabilité que ce soit une fille.

Exercice 2: (5 points) Spécialité.  Voir la CORRECTION
Un club de sport propose deux types d'abonnements non permutables.
Formule A: une cotisation annuelle de 500 F à laquelle s'ajoute la première année seulement un droit d'entrée de 10 000 F.

Formule B:   une cotisation annuelle initiale de 1 000 F qui augmente de 10% par an. Dès la seconde année, pour fidéliser la clientèle, on effectue une réduction de 50 F sur la cotisation annuelle. Si C_n est la montant, exprimé en francs, de la cotisation annuelle de n-ième année, on a
     C₁ = 1000       et pour tout entier n supérieur ou égal à 1 , C_n+1 = 1,1C_n - 50

1: Déterminez la somme T_n versée au club de sport par membre pendant n années avec la formule A.

2: Soit (D_n) la suite définie pour tout entier n supérieur ou égal à 1 par D_n = C_n + a où a est un réel.
    Déterminer le réel a pour que la suite (D_n) soit une suite géométrique de raison 1,1 et précisez
    le terme initial de la suite.

3: On suppose dans cette question que a = -500.
   a: Exprimer D_n puis C_n en fonction de n
   b: Soit S_n la somme versée au club par un membre pendant n années avec la formule B.
       Montrez que S_n = 5000[(1,1)ⁿ -1] + 500n
   c:  Quel nombre minimum d'années un membre doit-il cotiser pour que la formule A soit plus
        avantageuse que la formule B?

Problème 11 Points  Voir la CORRECTION
On donne les fonctions f et g , définies sur [1 ; + [ par :
               
On désigne par (C) et (C') leurs courbes représentatives respectives dans un repère orthonormal
d'unité graphique 2 cm.

Partie A

Etudiez les variations de f sur [1 ; +[
Trouvez la limite en + de .
Déduisez-en la limite de f en +.
Montrez que la droite (D) d'équation y = 1,1x est une asymptote de la courbe (C). Etudiez la
position de (C) par rapport à (D).
Tracez (C) et (D).

Partie B

Etudiez les variations de g sur [1 ; + [ et la limite de g en +.
Vérifiez que la droite (D) est une asymptote de la courbe (C').
Quelle est la position de (C') par rapport à (D) ?
 
Tracez (C') dans le même repère que (C) et (D).
 
On pose H(x) = (x + 1)ln(x + 1) - xln(x), pour tout x de [1 ; +[.
Calculez H'(x); déduisez-en une primitive sur [1 ; +[ de la fonction
                                    

Calculez l'intégrale :
Donnez-en une interprétation graphique.

Partie C

Les fonctions f et g données plus haut modélisent respectivement la quantité d'objets produits par
une entreprise et la quantité d'objets commandés à cette entreprise.
Plus précisément, si t est la date exprimée en semaines, f(t) est la quantité d'objets produits à la date t en milliers et g(t) la quantité d'objets commandés à cette même date en milliers.

Lorsque l'on a f(t) > g(t) , on dit que "la demande est satisfaite à la date t".
Démontrez que la demande n'est jamais satisfaite.
 
On admet que le nombre total d'objets, en milliers, don't la demande n'est pas satisfaite entre
les dates n et n' avec n' > n , est donné par : .
Donnez , à un objet près, le nombre total d'objets don't la demande n'est pas satisfaite entre
les dates 1 et 5.


On considère que le "niveau de fabrication est suffisant" lorsque moins de 20 demandes
d'objets ne sont pas satifaites, c'est à dire lorsque l'on a : g(t) - f(t) < 0,02.
En admettant que g - f est une fonction strictement décroissante sur [1 ; +[, à partir de
quelle date le niveau de fabrication est-il suffisant ?