Retour à l'exercice
Exercice 2:
Dans cet exercice, à faire sans aucun calcul, il faut savoir utiliser correctement la définition d'une asymptote oblique à la courbe représentative d'une fonction f.
Rappel:

Si ( C ) est la courbe représentative de f , la droite D d'équation " y = ax + b " est asymptote à ( C ) en - si et seulement si : . On peut dire que la droite d'équation " y = ax + b " est asymptote à ( C ) en - si et seulement si Il existe une fonction h telle que f( x ) = ax + b + h( x ) telle que De plus, la courbe ( C ) admet au plus une asymptote oblique en - Définition équivalente en +

On sait que la fonction f est de la forme .

1. La droite d'équation " y = 2 x - 1 " est asymptote à la courbe de f - signifie donc que l' on a : = 0
   Comme et que , on en déduit que ( C ) admet la droite d'équation " y = ax + b "
   comme asymptote en - .
   Du fait de l'unicité de l'asymptote oblique à ( C ) en - , on peut dire que les droites d'équation
   " y = 2 x - 1" et " y = ax + b " sont identiques donc que a = 2 et b = -1
   
2. On sait maintenant que .
   Comme la courbe ( C ) passe par le point A de coordonnées ( 1 ; 0),
   on doit avoir f( 1 ) = 0.
   D'où la relation : 1 - c = 0 et donc c = 1.
   L'expression de f ( x ) est donc :
   
   
3. Comme = + , on obtient = + .
   De même
   On en déduit que la droite d'équation " x = 2" est asymptote verticale à la courbe de f.
   
   
4. La fonction dérivée de f est : f ' ( x ) = .
   On sait que deux droites sont parallèles si et seulement si elles ont même coefficient directeur.
   Le coefficient directeur de la droite d'équation" y = x " est 1.
   Le coefficient directeur de la tangente à la courbe de f au point d'abscisse x est f ' ( x ).
   Cherchez les tangentes à ( C ) parallèles à la droite d'équation " y = x " revient donc à chercher les solutions de l'équation : f ' ( x ) = 1 Ceci conduit à l'équation : , ou encore :
   C'est à dire : ( x - 2 ) ² = 1. Ce qui donne : x = 1 ou x = 3.
   Comme f ( 1 ) = 0 et que f ( 3 ) = 6, les points de ( C ) admettant une parallèle à la droite d'équation " y = x " sont donc les points : A ( 1 ; 0 ) et B ( 3 ; 6 )
   
5. Si le point I ( a ; b ) est un centre de symétrie pour la courbe de f, alors la valeur a doit être une valeur de symétrie pour l'ensemble de définition de f. La seule valeur possible est donc a = 2.
   De plus , comme 1 et 6 sont deux valeurs symétriques par rapport à 2, on doit avoir : f ( 0 ) + f ( 6 ) = 2 b . D'où, la seule valeur possible pour b est : b = 3 .
   Donc, si la courbe ( C ) admet un centre de symétrie, c'est nécessairement par raport au point I de coordonnées I ( 1 ; 3).
   Vérifions maintenant que pour tout x réel tel que ( x + 2 ) et ( -x + 2 ) appartiennent à D, on a : f ( x + 2 ) + f ( - x + 2 ) = 6.
   =
   =
   D'où f( x + 2) + f ( - x + 2) = 6.
   Le point I ( 2 ; 3) est bien centre de symétrie pour la courbe de f.