1. La fonction g est décroissante sur [-1;0] et croissante sur [0;6].
2. L'équation "g(x) = 3 "s'écrit:
   • 3ln(x² + 5 ) - 3ln(6) = 3
   • ln(x² + 5) = ln(6) + ln(e) , en utlisant ln(e) = 1
   • ln(x² + 5) = ln(6.e) , en utilisant ln(a) + ln(b) = ln(ab) si a et b sont > 0.
   • x² + 5 = 6.e
   Pour dernière équation, les solutions sont: x₁ = (6e - 5)^½ et x₁ = -(6e - 5)^½.
   Comme x est dans l'intervalle :[-1;6], on en déduit que la seule solution de l'équation est:
   x₁ = (6e - 5)^½
3. On sait deux droites sont parallèles si et seulement si elles ont même coefficient directeur.
   Le coefficient directeur de la droite D d'équation "y = x " est 1.
   Le coefficient directeur de la tangente à la courbe de g au point d'abscisse x est g '(x).
   Répondre à la question revient donc à résoudre l'équation : g '(x) = 1.
   Or , la dérivée de g est : g '(x) = On obtient alors l'équation : = 1 , x dans l'intervalle [-1;6] Cette équation donne : x² - 6x + 5 = 0 , d'où les deux racines: X₁ = 1 et X₂ = 5 Comme g(1) = 0 et que g(5) = 3ln(30) - 3ln(6) = 3ln(5), il y a deux points admettant une tangente parallèle à la droite D: A(1 ; 0) et B(5 ; 3ln(5))

Partie B:
Etude de .

1. On remarque que = 1, en prenant les termes de plus haut degré.
   La droite d'équation " y = 1 " est donc asymptote à la courbe en +oo.
   Même chose en -oo.
2. La dérivée de f est : f '(x) = On l'obtient sans problème.
   Donc, f '(x) et (x² - 5) sont de signes contraires.
   Comme (x² - 5) = (x+)(x), on en déduit que:
   • f '(x) est < 0 sur ]-oo; ] U [;+oo[
   • f' (x) est > 0 sur [ ; ]. D'où le tableau de variations de f:
   De plus, on a : f(0) = 1 et f '(0) = . Une équation de la tangente à la courbe de f au point d'abscisse 0 est donc: ( T ) : y = x + 1
3. Courbe C , Tangente (T) , asymptote "x = 1".
4. .
   1. Voir la figure précédente.
   2. On remarque que: f(x) = = 1 + Donc, on a la relation : f(x) = 1 + g '(x).
      Une primitive de la fonction f est donc F(x) = x + g(x).
   3. Comme l'aire de A(3), en unité d'aire est : on en déduit que cette aire est égale, en unité d'aire: D'où, après calcul : Aire de A(3) = (3 + 3ln(2) + 3ln(7) - 3ln(5))(U.A). Pour a quelconque > 1 , on a : Aire de A(a) = (F(a) - F(1))(U.A) où F est la primitive de f déterminée dans la question précédente.
      Comme F(a) = a + g(a) et F(1)=1, on obtient: Aire de A(a) = (a - 1 + g(a))(U.A) L'unité sur les axes est 2 cm. Il ne reste plus qu'à multiplier par 4 pour avoir l'aire en cm².