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 		CORRECTION PROBLEME 1
Groupe 2 1992
Partie A-Etude de fonction
C( x ) = [Maple Math] pour x dans [0 ; 300].
1: La dérivée de C est : C ' ( x ) = [Maple Math]
Pour établir le tableau de variations de C' sur [0 ; 300] , on peut sans problème étudier le signe de C ".
Comme C " ( x ) = [Maple Math] , on en déduit que C " ( x ) est négatif sur [ 0 ; 150 ] et positf sur [150 ; 300].
Donc C ' est décroissante sur [0 ; 150 ] et croissante sur [150 ; 300].
De là, on en déduit que C ' admet un minimum en 150.
Pour tout x dans [0 ; 300] , [MAPLE MATH] .
Comme C ' (150) = 250 > 0, on peut dire que C ' est positif sur [0 ; 300].

2: La tangente T à la courbe de C au point A d'abscisse a a pour équation :

T : y = C ' ( a ).( x - a ) + C ( a )
Comme a = 150, on a :
C ' (150) = 250 et C ( 150 ) = 150000 .
D'où l'équation de T :
T : y = 250 x + 112500
Etudier la position de (C) par rapport à T, c'est étudier le signe de : C ( x ) - (250 x + 112500).

A ce stade, une petite remarque à ne pas oublier!!!
Le point A est, par définition, un point d'intersection entre (C) et T, car T est la tangente en A à la courbe (C).
Donc, l'abscisse de A, a = 150, est une solution de l'équation :"C ( x ) - (250 x + 112500) = 0"

Si on pose F( x ) = C ( x ) - (250 x + 112500), la dérivée de F est : F ' ( x ) = C ' ( x ) - 250.
On a vu que pour tout x dans [0 ; 300] , C ' ( x ) est supérieure à 250, donc, F '( x ) est positif sur [0 ; 300] donc F est croissante sur [0 ; 300].
Or F(150) = 0 (voir remarque ci-dessus).
Donc F( x ) est négatif sur [0 ; 150] et F( x ) est positif sur [150 ; 300].
Donc, (C) est en-dessous de T sur [0 ; 150] et (C) est au-dessus de T sur [150 ; 300].

3:
COURBE DE C , TANGENTE T AU POINT A
[MAPLE PLOT]
Partie B-Application économique
Fonction coût total : C( x ) = [MAPLE MATH]
Fonction prix unitaire : p( x ) = [MAPLE MATH]

1: La recette totale est le prix de vente unitaire multiplié par le nombre d'unités vendus. Donc la recette totale est :
R( x ) = p( x ). x = [MAPLE MATH]
2:
Le coût marginal est la dérivée de la fonction coût total . C m ( x ) = C ' ( x )
La recette marginale est la dérivée de la recette totale : R m ( x ) = R ' ( x )
Donc la recette marginale est égale au coût marignal si: R ' ( x ) = C ' ( x ).
Comme R ' ( x ) = [MAPLE MATH] , on obtient alors:
"La recette marginale est égale au coût marginal en
toute valeur x appartenant à [0 ; 300] telle que:
[Maple Math] "

Ce qui conduit à l'équation du second degré suivante :
" x dans [0 ; 300] , [Maple Math] = 0"
Les racines de cette équation sont : [MAPLE MATH] et 200.
Comme x appartient à [0 ; 300], seule la valeur 200 peut être prise.
Conclusion:
La valeur de x telle que le coût marginal soit égal à la recette marginale est : x = 200

3 :
Le bénéfice B est la différence entre la recette totale et le coût de production.
Donc, pour une production de x unités, le bénéfice total est :
B( x ) = R( x ) - C( x ) = [MAPLE MATH] - ( [MAPLE MATH] ) = [MAPLE MATH] .

La fonction dérivée de B est alors : B ' ( x ) = [MAPLE MATH]
Cette fonction est connue: c'est la différence entre la recette marginale et le coût marginal.
On connait, d'après la question précédente, les racines de B ': [MAPLE MATH] et 200.
On a donc : B '( x ) = [MAPLE MATH] .

Comme x appartient à l'intervalle [0 ; 300], on en déduit que
B ' ( x ) est positif sur [0 ; 200] et négatif sur [200 ; 300].
B est donc croissante sur [0 ; 200] et décroissante sur [200 ; 300].
B admet donc un maximum en 200. C'est bien en 200 que la recette marginale est égale au coût marginal.
De plus, on a : B(200) = [MAPLE MATH] .