RETOUR AU PROBLEME CORRECTION Problème3 : Partie A:

1. On sait que la fonction f est croissante sur [1 ; 4] et décroissante sur [4 ;6].
   De plus, comme la courbe de f passe par le point A ( 1 ; 0) , on a : f ( 1 ) = 0.
   De même , on a: f ( 2 ) = 1 , f ( 3 ) = 3 , f ( 4 ) = 4 , f ( 6 ) = 1.
   On sait aussi que la tangente à la courbe de f admet des tangentes en A et D parallèles à l'axe des abscisses.
   Le coefficient directeur de ces tangentes est donc nul.
   On a alors : f ' ( 1 ) = 0 et f ' ( 4 ) = 0.
   On peut alors préciser le tableau de variations de f ainsi que le tableau de signes de sa dérivée!
   
2. En tenant compte des indications, on obtient alors l'allure de la courbe de f :
3. ( T ) est la droite ( EF ), tangente en E à la courbe de f. Comme E a pour coordonnées ( 6 ; 1 ) et que F a pour coodonnées ( 5 ; 5 ), on en déduit qu'une équation de ( T ) est : ( T ) : ou encore : ( T ) : y = -4 x + 25 Comme f ' ( 6 ) est le coefficient directeur de cette tangente, on en déduit que f ' ( 6 ) = - 4.
4. La droite ( DE ) est tracée sur la figure ci-dessus. Une équation de cette droite est : ( DE ) :

Partie B :
Etude de la fonction g définie sur ] 1 ; 6 [ par : .

1. . Comme f ( 2 ) = 1, on obtient .
   De même , et g ( 6 ) = 1.
2. On sait que f est dérivable sur [1 ; 6 ] et que f ( 1 ) = 0. On sait aussi que f ( x ) est positif sur [ 1 ; 6 ].
   Donc . De là, on en déduit que : .
   D'où : .
   On peut alors dire que la droite d'équation " x = 1 " est asymptote verticale à la courbe de g.
3. Pour former le tableau de variations de g sur ] 1 ; 6 ], on peut procéder par deux méthodes:
   Méthode 1:
   On sait que la fonction ( ) est décroissante sur ]0 ; + [. Comme f est positive sur [1 ; 6] et que g n'est autre que la composée de ces deux fonctions, on obtient alors que les variations de f et de g sont inverses l'une de l'autre.
   g est donc décroissante sur ]1 ; 4] et croissante sur [4 ; 6].
   Méthode 2:
   On sait que f est dérivable sur [1 ; 6], donc g l'est aussi sur ]1 ; 6].
   Or, la dérivée de g est définie par : .
   g ' ( x ) et f ' ( x ) sont donc de signes contraires, d'où les variations de f et de g sont inverses.
4. Le calcul précédent de la dérivée de g permet de dire que : g ' ( 4 ) = 0 et g ' ( 6 ) = .
5. . Sur la figure, sont précisés les points B ' ( 2 ; 1 ) , C ' ( 3 ; ) , D ' ( 4 ; ) et E ( 6 ; 1 ).

Partie C:
On commence par faire une figure détaillée! La partie G correspond à la réunion des parties G₁ et G₂.

1. a: On sait que pour tout x appartenant à l'intervalle [4 ; 6] , f ( x ) car la droite ( DE ) est située sous la courbe de f sur l'intervalle [4 ; 6].
   On a donc bien : I .
   b: Le calcul de cette intégrale donne : = 5 , car c'est tout simplement le calcul de l'aire du trapèze (DEGH), où G est le point de coordonnées ( 6 ; 0 ) et H celui de coordonnées ( 4 ; 0 ).
   On peut aussi calculer cette intégrale en passant par une primitive : = = F( 6 ) - F ( 4 ) = 5 On a bien 5 I.
   
2. a: K est le point d'intersection de ( T ) et de la droite d'équation " y = 4".
   Comme ( T ) a pour équation : y = -4 x + 25, on obtient alors K est le point de coordonnées : K ( ; 4 ) b: La partie F est indiquée sur la figure. C'est la partie correspondant à la région du plan coloriée.
   On remarque que F est la réunion des parties G₁ et G₃ qui forment un rectangle, et des parties G₂ et G₄ qui forment un trapèze.
   Le rectangle a pour aire, en U.A : = 5
   Le trapèze a pour aire, en UA : .
   D'où l'aire de la partie F du plan est, en U.A : 5 + = 6,875.
   c: La partie G est incluse dans la partie F , on peut alors dire que l'aire de G est inférieure à l'aire de F .
   L'aire de G, en U.A est l'intégrale I.
   On a bien : 5 I 6,875.
   d:Comme l'unité sur les axes est égale à 2 cm, l'unité d'aire est de (4 cm ² ). Il ne reste plus qu'à multiplier par 4.