Retour au problème CORRECTION PROBLEME 6

Partie A:
Question préliminaire

  1. Graphiquement, on peut lire que f(x)=7 pour x = 3,6 à 0,1 près et f(x) = 4 pour x = 8.
  2. De même, on a : g(0) = 20.
  3. f est décroissante sur l'intervalle [0;14].
  4. On en déduit alors que la fonction dérivée de f est négative sur [0;14]. Pour tout x dans [0;14], 0 £ f'(x).

Partie B:
I. Interprétation économique

  1. Si le prix est de 700 F, la quantité achetée par les consommateurs, en milliers d'unités, est la solution de l'équation f(x)=7.D'après la question précédente, la quantité achetée, si le prix est de 700 F est donc de 360 unités.
    De même, pour un prix de 400 F, la quantité achetée est de 800 unités.
  2. Les producteurs ne sont pas prêts à vendre si le prix est inférieur à 300 francs.
    Effectivement, g(0) = 3 , ce qui signifie que pour un prix de 300 francs, les producteurs refusent de produire ce produit

II. Etude de la recette marginale
 Larecette totale est donnée par : R(x) = x.f(x) , pour x dans [0;14].
Sa fonction dérivée, R'(x), est la recette marginale.
Un simple calcul de dérivée montre alors que : R'(x) = f(x) + x.f'(x).

  1. Pour tout x dans [0;14], on a : R'(x) - f(x) = x.f'(x). Or, on sait que f'(x) est négatif sur [0;14],
    donc, pour tout x dans [0;14], on a : R'(x) - f(x) < 0

  2. b: La recette mariginale est donc inférieure au prix de vente pour toute production.

III. Equilibre du marché

  1. . On sait que = 0. On en déduit alors que = 0.
    On interpréte ce résultat en disant que si la quantité achetée par les consommateurs tend vers +oo , alors le prix unitaire tend vers 0.

  2. a: Comme l'égalité entre l'offre et la demande correspond à la situation où f(x) = g(x), on est conduit à l'équation
    = . Le point d'intersection des courbes de f et de g a donc une abscisse xo solution de cette équation, équation qui s'écrit, en multipliant par (x + 2) : x3 + 2x2 + 54x - 612 = 0. (équation (E))

    b: On développant l'expression : (x - 6)(x2 + 8x + 102    ), on obtient :
    (x - 6)(x2 + 8x + 102) = x3 + 2x2 + 54x - 612.
    Les solutions de (E) vérifie donc : (x - 6 = 0) ou (x2 + 8x + 102 = 0). Cette dernière équation est du second degré et a un discriminant négatif, donc n'a pas de racines réelles.
    La seule solution de (E) est donc x = 6.
    On a donc xo = 6.

    c: po = f(xo) = f(6) = 5. Le prix unitaire correspond à l'égalité de l'offre et de la demande est donc : 500 F.

IV. Le surplus des consommateurs

Pourquoi le surplus des consommateurs est donné par :

Il faut comprendre que c'est l'ensemble des consommateurs qui est étudié et non un consommateur isolé.
Pour une quantité x demandée, le prix du produit est f(x).
Décomposons l'intervalle [0;14] en, par exemple, 14 intervalles [0;1] , [1;2] , [2;3] , .., [13;14].
Quelle est alors la dépense des consommateurs prêts à acheter la première quantité, c'est à dire pour x dans [0;1]?
Cette dépense est 1.f(1) = quantité achetée x prix.
Quelle est alors la dépense des consommateurs prêts à acheter la seconde quantité, c'est à dire pour x dans [1;2]?
Cette seconde dépense est 1.f(2) = quantitée achetée x prix.
etc..
Les derniers consommateurs prêts à acheter la dernière quantité, c'est à dire pour x dans [13;14], vont dépenser:
1.f(14) = quantitée achetée x prix.

La dépense totale des consommateurs est donc : 1.f(1) + 1.f(2) + ... + 1.f(14).
Cette dépense totale, graphiquement, correspond à la somme des aires des rectangles indiqués ci-dessous.

Si, au lieu de prendre une décomposition en 14 intervalles, on prend une décomposition en n intervalles en faisant tendre n vers +oo, on remarque alors que la dépense totale des consommateurs, qui correspond à la somme des aires des rectangles, tend vers l'aire que définit la courbe de f.
Cette aire est : .Elle correspond à ce que l'ensemble des consommateurs est près à dépenser pour acheter le produit.

Si on se place en situation d'équilibre, c'est à dire pour une demande égale à l'offre, en xo , alors:

correspond à ce que l'ensemble des consommateurs est près à payer pour acheter une quantite xo.

po.xo correspond à la dépense effectivement faite par l'ensemble des consommateurs.

La différence des deux est donc la dépense non-faite pour acheter une quantité xo, mais que les consommateurs pouvaient faire.

C'est le surplus des consommateurs relatif à ce produit.

 

a: Le calcul de Sc donne, en utilisant le fait qu'une primitive de f sur [0;14] est (40.ln(x+2)) ,

b: Pour l'interprétation, voir au-dessus.