Partie A

1. On sait que ln(x) tend vers - si tend vers 0⁺. On en déduit que g(x) tend aussi vers -, si x tend vers 0⁺.
   On sait aussi que (x² - 1) et ln(x) tendent vers + si x tend vers +, donc g(x) tend vers + si x tend vers +.
2. La fonction dérivée de g est : g '(x) = . Cette fonction dérivée est > 0 sur ]0;+[, donc g est strictement croissante sur ]0;+[. On peut aussi remarquer que g est la somme de deux fonctions strictement croissante sur ]0;+[.
3. On remarque que g(1) = 0. L'équation "g(x) = 0" admet 1 comme solution. Comme est strictement croissante, c'est donc la seule solution possible.
4. g est strictement croissante sur ]0;+[ et g(1) = 0, donc on peut dire que:
   • g(x) est < 0 si et seulement si x appartient à ]0;1[,
   • g(x) est > 0 si et seulement si x > 1.

Partie B

Etude de f(x) =

1. Un simple calcul de dérivée montre que : f '(x) = d'où
   f '(x) = . Comme x est > 0 , on peut donc dire que f '(x) et g(x) sont bien de même signe.
2. Etude de la limite de f en +
   On sait que : , donc, comme ln(x) tend vers + si x tend vers +, on peut dire que :
   la limite de f en + est +.
   
   Etude de la limite de f en 0
   On remarque que : . Comme et que , on peur dire que:
   la limite de f en 0 est +.
3. Tableau de variation de f
   On sait f ' et g sont de même signe et on connait le signe de g d'après la Partie A. D'où le tableau de variation de f
   

La position de la courbe de f par rapport à la courbe de ln dépend du signe de f(x) - ln(x).
Or, f(x) - ln(x) = , donc, la position de la courbe de f par rapport à la courbe de ln ne dépend que du signe de ln(x).
On sait que ln(x) est >0 si et seulement si x est > 1.
On en déduit donc que:

• La courbe C_f est au-dessus de G sur ]0;1[,
• la courbe C_f est en-dessous de G sur ]1;+ [

Courbes C_f et G

Partie C

1. Le domaine (D) correspond à la partie hachurée sur la figure ci-dessus. L'aire ce domaine est :
   A(D) = = .
2. 
   a: La dérivée de la fonction h est :h '(x) = . Ceci se vérifie sans peine.
   On en déduit alors qu'une primitive de la fonction ()est (- h).
   b: De là, on peut dire que l'intégrale : est égale à := .
   D'où = ou encore = .
   La valeur exacte de A(D) est donc : . Une valeur approchée à 0,01 près est : 0,40.