Correction Probleme 9 Aix-Marseille 1991

Partie A

1. f(x) est positif si le point M(x ; y) est situé au-dessus de l'axe des abscisses.
   L'ensemble des réels x tels que f(x) soit > 0 correspond donc à la partie de la courbe de f située au-dessus de l'axe des abscisses.
   Graphiquement, on constate alors que:
   • f(x) est > 0 si et seulement si x ]-2 ; 4[,
   • f(x) est < 0 si et seulement si x ]- ; 2 [ U ] 4 ; + [.
2. On remarque que l'ensemble de définition de f est IR /{-2 ; 4}.
   On constate alors que l'ensemble de définition de f₃ est IR / {2;4}.
   L'ensemble de définition des fonctions f₁ et f₂ est bien IR / {-2;4}.
   La fonction f ne peut donc être que f₁ ou f₂.
   De plus, on voit graphiquement que f(0) = 0,75.
   Un simple calcul montre alors que f = f₂.

Partie B

1. Etude de g
   1. On sait que et .
      Comme et , on en déduit: = -oo et = +oo Les droites d'équation "x = -2" et "x = 4" sont donc des asymptotes verticales à la courbe de g.
   2. On remarque que :. La dérivée de g est donc: g ' (x) = On reconnait la fonction f₂. On sait que cette fonction est strictement positive sur ]-2;4[.
      La fonction g est donc strictement croisante sur ]-2;4[.
   3. Equation de la tangente (T) : .
   4. Courbe:
   
   
2. On remarque que les coordonnées des points I, A , B et D sont:
   I(1,0) , , B(3 ; ln(5) ) , D(3;0). On a donc:
   1. = (UA).D'où, en cm², Aire(IAD) = 12 cm²
      De même , = ln(5)(UA) d'où , en cm², Aire(IBD) = 9ln(5) cm².
   2. On obtient alors l'encadrement, en remarquant que le triangle IAD est sous l'arc de courbe (C): 12 cm² < D < 12ln(5) cm²
   3. On a G '(x) = = ln(x+2) - ln(4-x) = g(x).
      G est donc une primitive de g.
      On obtient alors
      = 5ln(5) - 6ln(3)
      D'où D = 9(5ln(5)-6ln(3))cm ²

1. La dérivée de g est : g(x) = -3x² - 6x = -3x(x + 2).
   Cette dérivée est donc positive sur [-2;0] et négative sinon.
   g est donc decroissante sur ]-oo ; -2] , croissante sur [-2 ; 0] puis croissante sur [0 ; +oo[.
   Comme g(-2) = 16 , et que g(2) = 0 , on en déduit que l'ensemble des x tels que g(x) soit > 0 est l'intervalle : I = ]-oo ; 2 [
2. h(x) = ln(g(x).
   1. h est définie sur ]-oo ; 2[ car sur cet intervalle , on a bien g(x) > 0.
   2. Des limites connues de (ln), on en dire que h admet pour limite +oo en -oo et , admet -oo pour limite en 2.
   3. Comme h en la composée des fonctions (ln) et g, et que l'on sait que le fonction (ln) est strictement croissante sur son ensemble de définition, on peut dire que h et g ont les mêmes variations sur I.
      Donc, h est décroissante sur ]-oo ; -2] , croissante sur [-2;0] puis décroissante sur [0;2[.
   4. Comme h(-2) = ln(16) > 2, que h(0) = ln(20) et que h tend vers -oo si en 2, d'après les variations de h, on peut dire que l'image de l'intervalle [-2;2[ par h est l'intervalle ]-oo ; ln(20)].
      2 appartient bien à cet intervalle, donc l'équation "h(x) = 2" admet bien une unique solution a qui appartient à [2;2[.
      Mais, attention,
      h n'est pas une bijection de [-2;2[ sur ]-oo ; ln(20)]!!!!
      Comme valeur approchée à 0,01 près par excès, on a: a = 1,65
      car h(1,64) > 2 et h(1,65) < 2.