Chaque dé correspond à l'ensemble E={1;2;3;4;5;6} et le résultat du lancer des deux dés
correspond à un couple (a;b) appartenant à ExE . L'univers est donc W = ExE et son cardinal est 36.
Comme on peut faire l'hypothèse que les dés se sont pas truqués, il y a équiprobabilité, c'est à dire que la probabilité d'un événement élémentaire est .
Pour un événement quelconque A de W, la probabilité de A est alors :

1. Il y a 10 cas favorables où le banquier gagne ou encore
    si B est l'événement "le banquier gagne", alors Card(B)=10.
    On a donc :
2. De même, si J est l'événement "le joueur gagne" alors .

3. N étant l'événement "personne ne gagne ", on a :

4.On cherche la probabilité de " le banquier a gagné SACHANT que le joueur n'a pas gagné ". C'est une probabilité conditionnelle.
   Avec les notations précédentes , on veut donc : .
   Comme on est dans un cas d'équiprobabilité, on peut dire que :

5. Appelons G la somme finale, en francs, du joueur après la partie. Le jeu est équitable si l'espérance de G est 100.  
    Autrement dit, il arrive avec 100 francs, il doit donc, en moyenne, repartir avec 100 francs après une partie.
    Les valeurs possibles de G sont:

• G = 0 , si le banquier gagne, c'est à dire si l'événement B se réalise,
• G = 50 , si personne ne gagne, c'est à dire si l'événement N se réalise,
• G = 100 + k ,  si le joueur gagne, c'est à dire si l'événement J se réalise.

   D'après les questions précédentes, on a donc :

P( G = 0 ) = 10 / 36
P( G = 50 ) = 18 / 36
P( G = 100+k) = 8 / 36.

   L'espérance de G est donc : E ( G ) = P(G = 0).0 + P( G = 50 ).50 + P( G = 100 + k).(100 + k)

   Ce qui donne :
   Comme on veut E( G ) = 100, on obtient alors k = 237, 5 francs

Deuxième Partie
1. Il y a deux parties de jouer si et seulement si le banquier ne gagne pas la première partie.
    Donc la probabilité qu'il y ait deux parties est :1 - P( B ) = (26 / 36)

2. La probabilité que le banquier perde une partie est : (18 / 36) = (1 / 2 ).
    On sait que les résulats des parties sont indépendants les uns des autres donc la probabilité que
     le banquier perde deux parties est : ( 18 / 36) ² = (1 / 4)^.

3. L'événement   "le joueur gagne au moins une partie" peut se décomposer suivant les cas suivants:
    1: ( N ; J )   première partie nulle et J gagne la seconde
    2: ( J ; B )   J gagne la première partie et B gagne la seconde
    3: ( J ; N )  J gagne la première partie et partie nulle pour la seconde
    4: ( J ; J )   J gagne les deux parties.
    Or  : P(N ; J ) = (1 / 9)   ,    P( J ; B) = (5 / 36)   ,   P( J ; N ) = (1 / 9)   et     P( J ;J ) = (1/4)
    D'où : P("J gagne au moins une partie") = (1/9) + (5/36) + (1/9) + (1/4) = (11 / 18)

Troisième Partie

La probabilité que le joueur perde une partie est (10 / 36).
Comme les résultats des parties sont indépendants, on a:

1. La probabilité que le joueur ne perde pas 5 parties de suite est donc (26 / 36) ^5.

2. Le joueur fait 10 parties de suite  et refuse de faire 11 parties si et seulement
    si il ne perd pas les 9 premières parties mais perd la dixième partie.
    La probabilité de cet événement est donc : (26 / 36) ⁹ . (10 / 36).

3. Les résultats de 5 parties de suites peuvent de présenter de la façon suivante:
     (a,b,c,d,e)   où a,b,c,d et e sont  B ou J ou N.
    Par exemple (J,J,N,N,B) signifie que
    -le joueur a gagné les 2 premières parties,
    -les 2 parties suivantes n'ont vu aucun vainqueur et
    -le banquier a gagné la cinquième partie.
     L'événement "le joueur fait 5 parties, refuse de faire la sixième partie et n'a gagné qu'une seule partie"
    correspond alors  au cas suivant:
    - (J , N , N , N , B)  ou ( N, J, N , N, B) ou ( N, N, J , N, B) ou ( N , N , N , J , B).
    Chacun de ces événements a une probabilité égale à : (8 / 36) . (18 / 36 ) ³ . ( 10 / 36 ).
    La probabilité demandée est donc.