Partie A - Etude de

1: La dérivée de g est : g '( x ) = . On remarque alors que cette dérivée est < 0 si x est > 0.
g est donc strictement dércroissante sur ]0;+ [.
On peut aussi remarquer que g est la somme de deux fonctions décroissantes sur ]0;+ [.

2:
a: Comme g(1) = et que g(2) = , g étant dérivable et strictement décroissante sur [1;2],
g est alors une bijection de [1;2] sur [g(2);g(1)]. Or g(2) est < 0 et g(1) > 0 .
Donc, il existe un réel unique x appartenant à l'intervalle [1;2] tel que g( x ) = 0. On appelle a ce réel.
Comme g(1,21) est > 0 et que g(1,22) est < 0 ( calculs machine ), on en déduit que 1,21 < a < 1,22

b: La fonction g est strictement décroissante sur I donc pour tout x dans I, comme g(a) = 0 , on a :
-si 0 < x < a alors g( x ) > 0
- si x > a alors g( x ) < 0.

Partie B - Etude de f

1:
a: On sait que et . Donc et .
La courbe de f admet donc la droite d'équation " x = 0" comme asymptote verticale.

b: On sait, résultat de cours, que . Comme, de plus, , on en déduit que

c: La droite D d'équation " " est asymptote à la courbe de f en + si et seulement si on a :
. Or et on sait que cette fonction tend bien vers 0 en + .
D'où le résultat.
La position de (C) par rapport à D dépend du signe de donc du signe de ln( x ).
Comme ln( x ) est > 0 si et seulement si x > 1 , on en déduit que
- La courbe (C) est au dessus de D sur [1 ; + [,
-La courbe (C) est en-dessous de D sur ]0 ; 1].

2: f ' ( x ) = d'où
f ' ( x ) = . Donc f '( x ) est du signe de g( x ) sur I.

On connait le signe de g( x ) d'après la Partie A . D'où le tableau de signe de f '( x ) et le tableau de variation de f.

3: Courbe de f et D.

Partie C

1: La fonction dérivée de F est : F '( x ) = .

2: On remarque alors que f( x ) = - F '( x ). Une primitive de f sur I est donc :

, où k est une constante réelle. On cherche la primitive de f qui s'annule en 0, on cherche donc la valeur de k telle que G(1) = 0.

Or , G(1) = . D'où G(1) = 0 si et seulement si .
La primitive de f qui s'annule en 1 est donc :

3:
a: Voir la figure précédente. L'aire de A en unité d'aire est : .
b: Une primitive de est la fonction (-F), d'après le calcul fait de la dérivée de F, donc :

, ce qui donne bien la valeur annoncée.