L'objet du problème est l'étude des la fonction f définie sur ]0;+ [ par

Partie A - Etude d'une fonction auiliaire.
Soit g la fonction définie sur I = ]0;+ [ par : .

1: Etudier les varitions de g sur I. Les limites de g en 0 et en - ne sont pas démandées.

2:
a. Démontrer qu'il existe, sur l'intervalle [1;2], un unique réel a tel que g( a ) = 0.
Donner un encadrement de a d'amplitude 0,01.
b: Montrer que si 0 < x < a alors g( x ) > 0 et si x > a alors g( x ) < 0.

Partie B - Etude de la fonction f.
On appelle ( C ) la courbe représentative de f dans le plan rapporté à un repère orthogonal.

1:
a. Démontrer que . Interpréter graphiquement ce résultat.
b. Déterminer .
c. Démontrer que la droite D d'équation est une asymptote à la courbe ( C ).
Etudier la position de ( C ) par rapport à D.

2: Démontrer que f '( x ) = et, à l'aide de la partie A , former le tableau de variation de f. (on utilisera le réel a).

3: Tracer la courbe ( C ) et la droite D (unité: 5 cm sur les abscisses et 3 cm sur les ordonnées. On prendra -0,27 comme valeur approchée pour f(a).

Partie C - Recherche d'une primitive de f - Calcul d'une intégrale.

Pour x > 0 , on pose .

1: Déterminez la fonction dérivée de F , notée F '.

2: Donner alors l'expression de la primitive de f sur I qui s'annule en 0.

3: Soit A la partie du plan délimité par la courbe de f, la droite D et les droites d'équation " x= 1" et " x =e".
a. Indiquez sur la figure A . Exprimer l'aire de A en unité d'aire à l'aide d'une intégrale.
b. Montrer que l'aire de A en unité d'aire est :-2e^-1+1