1: C_m(q) = 0,8 + 4.(1 - 2q).e^-2q donc la fonction dérivée de C_m est:

Comme la fonction (e^x) est strictement positif sur IR, on en déduit que la dérivée de C_m est du signe de (-1 + q).
Comme (-1 + q) est positif pour q > 1, on peut alors dire la dérivée de C_m est positive sur [1 ; 6] et négative sur [0 ; 1].
Donc la fonction C_m est décroissante sur [0 ; 1] et croissante sur (1 ; 6]. De plus, cette fonction admet un minimum en 1 égal à Cm(1) = 8 - 4.e^-2 = 0,25 à 10^-2 près par défaut:

Tableau de variations de C_m

q	0		1		6
Cq	.
			8-4e-2

2:
a: Simple calcul de dérivée: on a: g'(q) = 4e^-2q - 8q.e^-2q = 4(1 - 2q)e^-2q.
b: On remarque alors que Cm(q) = 0,8 + g'(q). Comme C_T est une primitive de C_m, car la dérivée de C_T ets C_m, on en déduit que C_T est de la forme;

On sait que C_T(0) = 1 (hypothèse donnée par l'énoncé), on en déduit alors que:

La fonction C_T est donc déterminée par:

3:
a: On a vu que C_m est positive sur [0 ; 6] et c'est la dérivée de C_T, donc C_T est croissante sur [0 ; 6].
b:

b: Le bénéfice est B(q) = 1,8.q - C_T(q) = 1,8.q - (0,8.q + 4.q.e^-2q + 1) = q - 1 - 4.q.e^-2q

2: h(q) = 1,8 - C_m
a:On remarque que les variations de h sont inversées par rapport à celle ed C_m. Donc h est croissante sur [0 ; 1] et décroissante sur [1 ; 3].
b: h(0) = -3 <0 , h(1) >0 et h(6) >0, des variations de h et du fait que cette fonction est dérivable, on déduit que l'équation admet une et une seule solution a et que cette solution appartient bien à [0 ; 1].

c: De là, on peut dire que h(q) est négatif sur [0 ; a ] et positif et [a ; 6].

3:
a: Il suffit de remarquer que la dérivée de B(q) est h(q). Donc, du signe de h(q) on en déduit les variations de B, à savoir: