Problème 13: Sujet National ES Juin 2000

Retour au Choix des Problème s CORRECTION

Partie A:

1: Soit C_m la fonction définie sur [0 ; 6] par:

C_m(q) = 0,8 + 4(1 - 2q)e^-2q Cette fonction traduit le coût marginal quotidien d'une usine pour la fabrication d'un produit chimique sous forme liquide, q étant la quantité de produit exprimée en milliers de litres et C_m(q) exprimé en milliers de francs.

Dresser le tableau de variations de C_m, la valeur de C_m(1) figurera dans le tableau.
En déduire le signe de C_m(q) sur [0 ; 6].

2:
a: Montrer que la fonction g définie sur [0 ; 6] par g(q) = 4qe^-2q admet pour fonction dérivée la fonction définie par:

g'(q) = 4(1 - 2q)e^-2q b: Le coût marginal est assimilé à la fonction dérivée du coût total.
Sachant que les coûts fixes C_T) s'élèvent à un miller de francs, Déterminer la fonction C_T traduisant le coût total en fonction de q.

3:
a: Déterminer les variations de C_T sur [0 ; 6] en utilisant la question 1.
b: Représenter la fonction coût total dans le plan muni d'un repère orthonormé ()
(unité graphique 2 cm)

Partie B:

Le prix de vente de ce liquide est de 1,8 F par litre. La fabrication quotidienne est vendue en totalité.

1:
a: Représenter sur le graphique précédent la fonction traduisant la recette quotidienne.
b: Montrer que le bénéfice noté B(q) s'exprime par B(q) = q - 1 - 4e^-2q.

2: Soit la fonction h définie sur [0 ; 6] par h(q) = 1,8 - C_m(q).
a: Etudier les variations de h en utilisant celles de C_m.
b: Démontrer que l'équation h(q) = 0 a une unique solution a sur [0 ; 1].(On ne demande pas de calculer a ).
c: En déduire le signe de h(q) pour q appartenant à [0 ; 6].

3:
a: En utilisant la question précédente donner les variations de B
b: Donner une valeur de B(a) avec deux décimales en prenant 0,28 comme valeur de a.
Que représente cette valeur pour cette usine ?