Partie A:
1: La fonction dérivée de f est :
     
    Comme x appartient à l'intervalle [0 ; 1] , on a alors:
    x + 1 > 1 {donc ln(x +1) > 0}  et  x > 0. De plus, ln(2) est >0 . On peut alors dire que
    la fonction f '(x)  est positive sur [0 ; 1] et donc que f est croissante sur [0 ; 1].
2:
a: Montrer que la courbe de f est située de la droite (D) sur [0 ; 1] revient à montre
    que pour tout x dans [0 ; 1] , on a f(x) < x. Or,
     
b: Les points d'intersection entre la courbe de f est la droite (D) correspondent aux solutions de
    l'équation " f(x) = x , x dans [0 ; 1]".
    On voit, en reprenant le calcul précédent, que cette équation admet exactement 2 solutions
    qui sont 0 et 1. Il y a donc deux points d'intersection qui sont O(0 ; 0 )  et  A(1 ; 1).
3:Comme f(0) = 0 et f '(0) = 0 , une équation de (T) est :
                                                      y = 0.
    De même, f(1) = 1 et f '(1) =  donc une équation de (T') est :
                                                     
4: a:
    
b: La fonction f est dérivable et strictement croissante sur l'intervalle [0 ; 1]. Donc, f est une bijection de [0;1] sur [f(0) ; f(1)]. Comme f(0) = 0 et f(1) = 1, pour tout y appartenant à [0 ; 1] , il existe un et un seul élément de [0 ; 1] tel que f(x) = y.
En particulier, comme 0,5 appartient à [f(0) ; f(1)], il existe une unique valeur a dans [0 ; 1]
telle que f(a)= 0,5.
On constate alors que f(0,673) est < 0,5  et  f(0,674) est > 0,5.
a est donc bien compris entre 0,673 et 0,674.

5:
a: Il suffit, d'après la définition des primitives d'une fonction f, de vérifier que la dérivée de F est bien f.
Or ,

F est bien une primitive de f sur [0 ; 1].
b: De là, le calcul de l'intégrale ne pose pas de problème!
    
c: Cette intégrale est égale à l'aire (en unité d'aire UA) de la partie du plan délimitée par la courbe de f, la droite (D) et les droites d'équations "x = 0" et "x = 1". Elle est indiquée sur la figure précédente en gris.

Partie B:
1: a: Il suffit de calculer f(0,50) et de voir que f(0,50) = 0,2975 à 0,0001 près par défaut.
    b: Il suffit de calculer 1 - f(0,90). On obtient alors 1 - f(0,90) = 0,1666 à 0,0001 près par défaut.

2: a: On est amené à poser l'équation "f(x) = 0,50 "
     b: D'après le résultat de la partie A: 4: b: on sait que cette équation a une unique solution a et
         que a est compris entre 0,673 et 0674. On peut alors qu'il y a 67,3% des salariés les moins bien
          payés recoivent 50% de la masse salariale.

3: a: L'aire du triangle OAB est , en unité d'aire, (0,5).
         Donc, G est simplement égal à 2.Aire(A )  .  Comme Aire(A ) = I , on a alors :
         
     b: On utilise alors la valeur exacte de I obtenue dans la question A:5:c:. Un simple calcul "machine"
         permet alors de voir que G = 0,2786 à 0,0001 près par défaut.
     c: L'indice de Gini mesure "l'inégalité" dans la répartition des revenus.
          Plus cet indice est proche de 1, plus les revenus sont concentrés entre peu de personnes.
          Plus cet indice est proche de 0 , plus la répartition des revenus est "uniforme" entre les personnes.
          L'indice de Gini de l'entreprise est plus proche de 0 que celui demandé par la directice.
          D'où la réponse de la majorité "NON".