Pour x appartenant à l' intervalle [0 ; 1] , on définit l fonction f suivante :        
                                                   
On appelle (C_f) la courbe de f dans le plan muni d' un repère orthonormé.
On désigne par O , A et B les points de coordonnées respectives ( 0 ; 0 ) , ( 1 ; 1 ) et ( 1 ; 0 ).
(D) est la droite d' équation " y = x ".

Partie A: Etude de la fonction f:
1:   Calculez la fonction dérivée de f . Etudiez alors les variations de f sur [0 ; 1].
2:  
 a: Montrez que la courbe de f est située en-dessous de la droite (D) sur l' intervalle [0 ; 1].
 b: Quels sont les points d' intersection de (Cf) et (D) ?
3: On note ( T ) et ( T ' ) les tangentes respectives à (Cf) aux points d' abscisse 0 et d' abscisse 1.
     Donnez une équation pour chacune de ces deux tangentes.
4:
 a: Tracez la courbe (Cf) , la droite (D) et les tangentes ( T ) et ( T ' ).(unité = 10 cm).
 b: Montrez qu 'il existe une valeur unique a appartenant à l' intervalle [0 ; 1] telle que f (a ) = 0,5.
        Montrez que l' on a  : 0,673 <  a < 0,674  .

5: On pose, pour x appartenant à [ 0 ; 1 ] ,
                                     
 a: Montrez que F est une primitive de f sur [ 0 ; 1 ].
 b: Calculez alors l' intégrale : .

 c: Donnez une interprétation graphique de ce résultat.
Partie B :
La fonction f représente la distribution de la masse salariale d' une entreprise E entre ses 100 000 salariés,
classés par ordre croissant des salaires.
Ceci signifie que les i% des salariés les moins bien payés reçoivent f( i%) de la masse salariale
totale de l' entreprise.
1:
 a: Vérifiez que la moitié des salariés les moins bien payés de cette entreprise reçoivent à peu près 29,25%
     de la   masse salariale totale de l' entreprise.
 b: Montrez que les 10% des salariés les mieux payés de cette entreprise reçoivent à peu près 16,66% de
      la masse  salariale totale de l' entreprise.
2: On cherche le pourcentage des salariés les moins payés dans l' entreprise percevant 50% de la masse
     salariale  totale des salaires.
  a: Quelle équation est-on amené à poser pour répondre à cette question ?
  b: En utilisant la partie A, donnez une estimation du pourcentage des salariés les moins payés percevant
      50% de la   masse salariale totale de l' entreprise.
3: La partie du plan comprise entre la courbe de f et la droite (D) est appelée ( A ).
    On appelle Indice de Gini de la distribution des salaires de cette entreprise, le nombre G défini par :
                                                                       
  a:  Exprimez G à l' aide d' une intégrale .
  b: Vérifiez que G = 0,2786 à 0,0001 près par défaut .
  c:  Une directive du gouvernement demande aux entreprises de plus de 50 000 salariés, d' avoir une répartition
       de la masse salariale pas trop inégalitaire correspond à un indice de Gini voisin de 0,35
        Le Directeur de l' entreprise E demande alors  aux salariés s' ils sont d' accord pour appliquer la directive
        gouvernementale. La majorité d' entre eux répondent  "NON".   
        Pourquoi ?