Retour au Problème                               Correction Problème 15  Bac ES 2001  

1. La dérivée de f est :
    .
   Cette fonction est donc strictement croissante sur l'intervalle d'étude.
   De plus, on sait que :
    
   On en déduit alors que la fonction tend vers + car (1,1x) tend vers +si x tend vers +.
2. On remarque, que :
    
   que la droite (D) d'équation "y = 1,1x" est bien asymptote à (C).
   De plus, pour tout x > 1 , on a : f(x) - 1,1x = ln(x) - ln(x +1).
   Comme x < x +1 et que la fonction ln est strictement croissante, on peut dire que
   ln(x) < ln(x + 1) pour tout x > 1.
   Donc, on a : f(x) - 1,1x < 0.
   De là, on peut dire que (C) est en-dessous de (D) .
   
   Courbe de f , de g , Asymptote, Aire.
 

Partie B

La dérivée de g est :

Comme x est > 1 , on a : 1,1x² - 1 > 0 . La dérivée de g est donc > 0 donc g est strictement croissante sur [1 ; [
La limite de g en + est +. Sans difficultés.
Comme , on peut dire que (D) est aussi une asymptote à (C') en +.
(D) est en-dessous de (C'). (Sans difficultés).
Voir figure au-dessus.
Un simple calcul de dérivée, en utilisant (UV)' = U'V + UV' , montre alors que :
H '(x) = ln(x +1) - ln(x).

 F(x) = ln(x) + H(x).
L'intégrale demandée est alors égale à : F(5) - F(1) = -4ln(5)+4ln(2)+6ln(3)
Cette intégrale correspond à l'aire, en unité d'aire, de la partie du plan limitée par,
- les droites d'équations x = 1 et x = 5
- les courbes (C) et (C ').
Cette partie du plan est en bleu sur la figure.

Partie C

La demande n'est jamais satisfaite car, d'après ce qui a été vu dans les parties précédentes, on a pour tout t > 1 , f(t) < 1,1t < g(t).
Cette question ne fait que reprendre l'intégrale vue dans la partie B.
On voit alors qu'un valeur approchée de cette intégrale est : 2.926510808
Comme on veut un nombre d'objets à l'unité près, ce nombre est 2926 ou 2927 suivant l'arrondi effectué.
On admet que i = g - f est décroissante sur [1 ; [
En effectuant une recherche à l'aide d'une machine, on constate que i(99) > 0,02
et i(100) < 0,02.
C'est donc à partir de la semaine 100 que le niveau de fabrication est suffisant.