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Problème Bac ES 2001    Voir la CORRECTION

Partie A

Etudiez les variations de f sur [1 ; +[
Trouvez la limite en + de .
Déduisez-en la limite de f en +.
Montrez que la droite (D) d'équation y = 1,1x est une asymptote de la courbe (C). Etudiez la
position de (C) par rapport à (D).
Tracez (C) et (D).

Partie B

Etudiez les variations de g sur [1 ; + [ et la limite de g en +.
Vérifiez que la droite (D) est une asymptote de la courbe (C').
Quelle est la position de (C') par rapport à (D) ?
 
Tracez (C') dans le même repère que (C) et (D).
 
On pose H(x) = (x + 1)ln(x + 1) - xln(x), pour tout x de [1 ; +[.
Calculez H'(x); déduisez-en une primitive sur [1 ; +[ de la fonction
                                    

Calculez l'intégrale :
Donnez-en une interprétation graphique.

Partie C

Les fonctions f et g données plus haut modélisent respectivement la quantité d'objets produits par
une entreprise et la quantité d'objets commandés à cette entreprise.
Plus précisément, si t est la date exprimée en semaines, f(t) est la quantité d'objets produits à la date t en milliers et g(t) la quantité d'objets commandés à cette même date en milliers.

Lorsque l'on a f(t) > g(t) , on dit que "la demande est satisfaite à la date t".
Démontrez que la demande n'est jamais satisfaite.
 
On admet que le nombre total d'objets, en milliers, don't la demande n'est pas satisfaite entre
les dates n et n' avec n' > n , est donné par : .
Donnez , à un objet près, le nombre total d'objets don't la demande n'est pas satisfaite entre
les dates 1 et 5.


On considère que le "niveau de fabrication est suffisant" lorsque moins de 20 demandes
d'objets ne sont pas satifaites, c'est à dire lorsque l'on a : g(t) - f(t) < 0,02.
En admettant que g - f est une fonction strictement décroissante sur [1 ; +[, à partir de
quelle date le niveau de fabrication est-il suffisant ?