Retour au Problème                                  Correction Problème 16 BAC ES

Partie A:

Un simple calcul de dérivée montre que .
Cette dérivée est > 0 sur [0;2] donc f est strictement croissante sur l'intervalle [0 ; 2]
 
Les points d'intersection entre (C) et (D) sont les points dont les abscisses sont solutions de l'équation
"f(x) = x , x appartenant à [0 ; 2]
En posant alors l'équation " " , on trouve x = 1 ou x = -1
Comme x est dans [0 ; 2], seule la valeur 1 est solution
Il y a donc un unique point d'intersection entre (C) et (D) qui est le point L(1 ; 1)
 
Etudier la position de (C) par rapport à (D) revient à étudier le signe de "f(x) - x"
Or, . Comme (1-x²), pour x appartenant à [0 ; 2] , est positif sur [0 ; 1]
et négatif sur [1 ; 2] , on en déduit que
(C) est au-dessus de (D) sur [0 ; 1] et (C) est en-dessous de (D) sur [1 ; 2]
Courbe de f, Droite (D), point d'intersection entre (C) et (D).

Partie B:

Un simple calcul donne : , et .
Cette n'est arithmétique ni géomètrique les différences des termes consécutifs et le rapport des termes consécutifs ne sont constants. On peut voir, pour justifier que cette suite n'est géomètrique, que le premier terme est nul mais pas le second.


Figure

 
On admet que la suite est comprise entre 0 et 1.
On sait que sur [0 ; 1] , (C) est au-dessus de (D).
Donc, pour tout x dans [0 ; 1] , on a : f(x) > x
Comme f(U_n) = U_n+1 , on en déduit que U_n+1 > U_n
La suite est bien croissante.

Partie C:

Simple calcul: , , et
Les rapports demandés sont égaux à
On peut alors conjecturer que cette suite est géomètrique de raison 1/3


On admet que cette suite est géomètrique.
Voir avant, sa raison est 1/3.
De plus, (voir cours)


Comme , on peut écrire que:
donc que : d'où
L'expression de la suite (U) est alors:
On sait que , on en déduit que la suite (U) converge vers 1.