Retour au Choix Problèmes ES                     Problème 16 : en 3 Parties    Voir la CORRECTION   
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Pour x appartenant à [0 ; 2 ] , on pose :
On appelle (C) la courbe représentative de f dans le plan muni d'un repère orthonormé.
On appelle aussi (D) la droite d'équation "y = x".

Partie A
    a: Etudier les variations de f sur [0 ; 2].
    b: Montrer que (C) est (D) possèdent un unique point d'intersection que l'on note L.
         Donner les coordonnées de L.
    d: Etudier la position de (C) par rapport à (D).
    e: Représenter (C) et (D) sur l'intervalle [0;2] (unité = 5cm)

Partie B : On définit la suite (U_n) suivante:
    U₀ = 0 et pour pour tout n entier naturel , U_n+1 = f(U_n).
    On définit aussi les suites de points suivants:
    A_n(U_n ; 0) , B_n(U_n ; U_n+1) et M_n(U_n ; U_n).
    a: Calculer U₁ , U₂ et U₃. (U_n) est-elle arithmétique?géomètrique? Jusitifier la réponse.
    b: Placer sur la figure faite dans la question 1: les points A₀ , B₀ , M₀ , A₁ , B₁ , M₁ , A₂ , B₂
        et M₂ en indiquant la méthode de construction à l'aide de la droite (D).
    c: On admet que pour tout n entier naturel, 0 < U_n < 1.
        D'après la partie A: quelle est la position de B_n par rapport à M_n ?
        Montrer alors que la suite (U_n) est croissante.
Partie C : On définit maintenant la suite (V_n) :   "Pour tout n entier naturel, ."
    a: Calculer V₀ , V₁ , V₂ et V₃.
    b: Calculer , et . Que peut-on alors "prévoir" (conjecturer) par la suite (V_n)?
    c: On admet que la suite (V_n) est géomètrique.
        Quelle est alors sa raison ?  Quelle est l'expression de V_n en fonction de n ?
    d: Montrer que pour tout n entier naturel, on a :
       Donner alors l'expression de U_n en fonction de n.
       Quelle est la limite de la suite (U_n)? Jusitifier la réponse.

                                                                                       Exercice
La suite (U_n) est définie par les relations : "U₀=2   et pour tout n entier naturel U_{n + 1} = 0,9U_n + 2
1: Calculer U₁ , U₂ et U₃.
2: Déterminer un réel a tel la suite (V_n) définie par "Pour tout n entier naturel, V_n = U_n + a", soit une suite géomètrique.
Dans la suite de l'exercice, on pose alors a = -20.
3: a: Calculer V₀. Donner alors l'expression de V_n en fonction de n.
     b: Quelle l'expression de U_n en fonction de n? Etudier la convergence de (U_n).
On pose S_n = V₀ + V₁ + V₂ + ... + V_n  et    T_n = U₀ + U₁+ U₂ + .... + U_n , n étant un entier naturel.
4: a: Quelle est l'expression de S_n en fonction de n ? En déduire l'expression de T_n en fonction de n.
     b: Déterminer .  En déduire .    Déterminer alors