Retour à l'Exercice           Correction Exercice 1 PROBLEME 17    

1:
a: La dérivée de C est :C '(x) = -3x² +22x +16 = -(3x +2)(x - 8) .
On en déduit que cette dérivée est positive sur [0 ;8] donc que C est croissante sur [0 ; 8].
C(1) = R(1) = 51 , C(5) = R(5) = 255 , C(8) = 345 et R(8) = 408

b: Les points d'intersection des deux courbes ont pour abscisses les solutions de l'équation:
C(x) = R(x) ou encore x³ - 11x² + 35x - 25 = 0
D'après le calcul précédent, on sait que 1 et 5 sont solutions de cette équation.
 On peut factoriser sous la forme x³ - 11x² + 35x - 25 = (x-1)(x-5)(ax + b).
Un simple calcul montre alors que ax + b = x-5.
D'où   x³ - 11x² + 35x - 25 = (x -1)(x - 5)²
Les seules solutions sont donc 1 et 5 qui correspondent aux points A(1 ; 51) et B(5 ; 255).

c: On remarque que C'(5) = 51. Le coefficient directeur de la tangente au point d'abscisse 5 est donc 51.
Cette tangente donc parallèle à la droite qui représente R.
Comme C(5) = R(5), on en déduit que ces deux droites ont le point B(5 ; 255) comme point commun.
Elles sont donc confondues.

d: Comme R(x) - C(x) = (x -1)(x -5)² , on voit que la courbe de C est en dessous
de la droite qui représente R sur [1 ; 8] et au-dessus sur [0 ; 1]

2:
a:  B(x) = x³ - 11x² + 35x - 25
b: B(x) = R(x) - C(x) , donc le bénéfice est strictement positif pour x = 2 ou 3 ou 4 ou 6 ou 7 ou 8.
(d'après la question précédente)
c: La dérivée de B est : B '(x) = 3x² - 22x + 35 .
On en déduit que cette dérivée est négative entre et 5 .
B est donc croissante sur , décroissante sur et croissante sur [5;8].

On remarque alors que le bénéfice est maximal pour Xo = 8 et que ce bénéfice maximal est
B(8)=63 milliers d'euros.

3: On cherche alors le bénéfice maximum, pour x compris entre 0 et 5 , mais avec x entier.
Comme sur cet intervalle, le maximum de B est atteint pour , et que cette valeur n'est pas entière,
d'après les variations de B, on voit que le bénéfice maximum sur [0;5] est atteint en 2 ou en 3.
Or B(2) = 9 et B(3) = 8.
Le bénéfice maximum, pour x entier et compris entre 0 et 5, est atteint pour X₁ = 2.
Il est alors de 9 milliers d'euros.