Retour à l'Exercice                   Correction Exercice 3 PROBLEME 17 l

1:
a: La fonction f est définie si et seulement si 2-x > 0 et 1+ x > 0 d'où Df = [-2 ; 1]
b: La dérivée de f est :
On en déduit que la dérivée est bien du signe de .
De plus, f ' (x) est > 0 si et seulement si
Comparer deux nombres positifs revient à comparer leurs carrés. On a donc:
c: f '(x) > 0 si et seulement si x + 1 > 2 - x ou encore .
La fonction f est donc croissante sur [-1 ; 1/2 ] et décroissante sur [1/2 ; 2].
Le tableau de variations de f sur [-1 ; 2] se fait alors sans difficultés.

d: On remarque alors que f admet un maximum en (1/2) qui est :
De plus, f(-1) = f(2) = .
D'après les variations de f, on en déduit que

2:
a: (D) est un axe de symétrie pour (C) si et seulement si:
i: [-1 ; 2] est symétrique par rapport à 1/2 (ce qui est vrai!)
ii: Pour tout x dans [-1 ; 2] , f(x + 1/2) = f( -x + 1/2)
Or:

=

=

On a bien .
La droite (D) est bien un axe de symétrie pour (C).

b:

c: On remarque que la courbe de f et la droite d'équation " y = 2" ont exactement deux points d'intersection.
L'équation "f(x) = 2" admet donc exactement deux solutions.
De plus, on a f(-1) < 2 < f(0) donc comme f est strictement croissante sur [-1 ; 0], on en déduit qu'une des solutions a est bien comprise entre -1 et 0. De même f(1) > 2 > f(2)) . Donc, l'autre solution b est comprise entre 1 et 2.

Comme la courbe est symétrique par rapport à la droite d'équation " ", a et b sont symétriques par rapport à 1/2. On a donc d'où a + b = 1.

Valeur approchée