Retour à l'Exercice                        Correction Exercice 4 PROBLEME 17

1: la dérivée de f est : f '(x) = 3x² - 6x - 9
C'est une fonction polynôme de degré 2 dont les racines sont:-1 et 3.
Donc : f '(x) = 3(x +1)(x - 3).
On en déduit que f '(x) est > 0 sur ]-oo ; -1[ U ]3 ; +oo[ et < 0 sur ]-1 ; 3[.
D'où f est croissante sur ]-oo ; -1] , décroissante sur [-1 ;3] puis croissante sur [3 ; +oo[.
On peut aussi remarquer que et .

2: L'équation "f(x) = 0" s'écrit : "x(x²- 3x + 9) = 0" d'où
"x = 0 " ou " x² - 3x + 9 = 0"
Les solutions sont donc : a = 0 , et

3:

a: D'après les variations de f, si A est un centre de symétrie alors son abscisse doit être
une valeur de symétrie pour -1 et 3. La seule valeur possible pour cette abscisse est alors x_a = 1.

b: g(x) = f(x+1) + f(-x+1) donc g(0) = f(1) + f(1) = -11 - 11 = -22 .
Pour x réel quelconque, on a:
f(x + 1) = (x+1)3 - 3(x+1)² - 9(x+1)

= (x³ + 3x² +3x +1) - 3(x² +2x +1) - 9(x+1)
= x³ - 12x - 11
De même,
f(-x +1) = -x³ +12x - 11
Donc, f(x+1) + f(-x+1) = -22.
Remarque:
On peut aussi plus simplement remarquer que P(x) = g(x) + 22 est une fonction polynôme de degré < à 3.
Donc, P admet au plus 3 racines.
Or, en sans difficulté de calcul, on a:
P(0) = P(-1) = P(3) = P(1) = 0
Donc, comme P admet 4 racines, P est le polynôme nul.
Pour tout x réel, on a donc P(x) = 0 d'où g(x) = -22

On en déduit que le point A de coordonnées (1 ; -11) est centre de symétrie pour la courbe de f.

4: