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PROBLEME
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Problemes 4 Exercices de
Révision corrigés
Exercice 1: Voir
la Correction
Une entreprise fabrique x quintaux d'un certain produit,
x compris entre 0 et 8.
On suppose que toute la production est vendue.
Le
coût total de fabrication, exprimé en milliers d'euros, est fonction
de la quantité x produite.
On le note C(x) et on suppose que C(x)
= -x3 + 11x2 + 16x + 25 , pour x dans [0 ; 8].
La recette
totale R est fonction de x et on a : R(x) = 51x , pour x dans [0 ; 8].
- a: Etudiez les variations de C sur [0 ; 8] et tracez les courbes de
C et de R dans un même repère.
On
précisera les points d'abscisses 1 , 5 et 8.
(1 unité
= 1cm en abscisse , 20 unité = 1 cm en ordonnée)
b:
Montrez que les deux courbes obtenues ont 2 points d'intersection donc on
donnera les coordonnées.
c: Montrez qu'un de ces points admet
la droite représentant R comme tangente à (C).
d: Etudiez
la position de cette tangente par rapport à (C).
- Le bénéfice réalisé par l'entreprise en
fonction de la quantité produite x est définie par:
B(x)
= R(x) - C(x), exprimé en milliers d'euros.
a: Donnez l'expression
de B(x) en fonction de x.
b: Quelles valeurs entières faut-il donner
à x pour que le bénéfice soit strictement positif?
c:
Etudiez les variations de B sur [0 ; 8].
Pour
quelle valeur entière Xo le bénéfice est maximum?
Quel
est alors ce bénéfice maximal ?
- L'entreprise rencontre un problème technique. Elle ne peut
pas fabriquer plus de 5 quintaux du produit.
Dans ce cas, quelle quantité
de quintaux doit-elle produire pour obtenir un bénéfice maximum,
cette quantité X1 devant être un nombre entier ?
Exercice 2: Bac L Juin 1995 Antilles-Guyane
Depuis qu'il est
à la retraite, un homme tond sa pelouse tous les samedis. Il recueille
chaque fois 120 litres de gazon qu'il stocke dans un bac à compost de
300 litres.
Chaque semaine les matières stockées perdent, par
décomposition ou prélèvement, les trois quarts de leur
volume.
Soient V1 , V2 , V3 les volumes en litres stockés respectivement
les premier, deuxième et troisième samedis après le tonte.
De
manière générale, soit Vn le volume stocké le nième
samedi après la tonte.
Les volumes sont exprimés en litre.
- a) Montrez que V1 = 120 , V2 = 150 et V3 = 157,5.
b) Calculez
V4 , V5 et V6 .
- Exprimez Vn+1 en fonction de Vn.
- On définit , pour n > 0 , la suite (Tn) par : Tn = 160 - Vn
.
a) Montrez que (Tn) est une suite géométrique. Donnez
son premier terme T1 et sa raison q .
b) Déduisez-en alors l'expression
de Vn en fonction de n.
c) Quelle est la limite de (Vn) ?
Exercice 3: Voir
la Correction
On définit la fonction f de R vers R par la relation
: 
(C) est la courbe de f dans le plan muni d'un repère orthonormé.
1:
a: Montrez que l'ensemble de définition de f est [-1 ; 2].
b:
Pour x appartenant à ]-1 ; 2[ , montrez que la dérivée
de f , f '(x) , est du signe de 
.
c: Etudiez alors le signe de f '(x) puis
formez le tableau de variations de f sur [-1 ; 2].
d:
Montrez que pour tout x dans [-1 ; 2] , on a : 
2: Soit (D) la droite d'équation " 
".
a: Montrez que (D) est un axe de symétrie
de la courbe (C).
b: Tracez la courbe (C) ainsi que les
droites (D) et la tangente à (C) horizontale.
c:
Montrez que l'équation "f(x) = 2" admet exactement deux
solutions que l'on note a et b
avec
a compris entre -1 et 0 et b
compris entre 1 et 2.
Expliquez pourquoi
on a : a + b = 1
Donnez
une valeur approchée à 0,001 près par défaut de
b.
Exercice 4: Voir
la Correction
Pour x réel, on pose f(x)
= x3 - 3x2 - 9x .
(C) est la courbe
de f dans le plan.
1: Etudiez les variations de f sur R.
2: Donnez les
solutions réelles de l'équation "f(x) = 0".
3:
Soit A un point du plan.
a: Quelle doit être
l'abscisse de A pour que ce point soit un centre de symétrie pour (C)
?
b: On pose g(x) = f(x +1) + f(-x
+1)
Calculez g(0).
Déterminez
la valeur de g(x) pour x réel quelconque.
Que
peut-on en déduire ?
4: Tracez l'allure de la courbe de f en tenant
compte des résultats de la question 3: