PROBLEME 17
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Exercice 1: Voir la Correction
Une entreprise fabrique x quintaux d'un certain produit, x compris entre 0 et 8.
On suppose que toute la production est vendue.
Le coût total de fabrication, exprimé en milliers d'euros, est fonction de la quantité x produite.
On le note C(x) et on suppose que C(x) = -x³ + 11x² + 16x + 25 , pour x dans [0 ; 8].
La recette totale R est fonction de x et on a : R(x) = 51x , pour x dans [0 ; 8]. 

1. a: Etudiez les variations de C sur [0 ; 8] et tracez les courbes de C et de R dans un même repère.
       On précisera les points d'abscisses 1 , 5 et 8.
      (1 unité = 1cm en abscisse ,  20 unité = 1 cm en ordonnée)
    b: Montrez que les deux courbes obtenues ont 2 points d'intersection donc on donnera les coordonnées.
   c: Montrez qu'un de ces points admet la droite représentant R comme tangente à (C).
   d: Etudiez la position de cette tangente par rapport à (C).
   
   
2. Le bénéfice réalisé par l'entreprise en fonction de la quantité produite x est définie par:
   B(x) = R(x) - C(x),  exprimé en milliers d'euros.
   a: Donnez l'expression de B(x) en fonction de x.
   b: Quelles valeurs entières faut-il donner à x pour que le bénéfice soit strictement positif?
   c: Etudiez les variations de B sur [0 ; 8].
       Pour quelle valeur entière Xo le bénéfice est maximum?
       Quel est alors ce bénéfice maximal ?
   
   
3.  L'entreprise rencontre un problème technique. Elle ne peut pas fabriquer plus de 5 quintaux du produit.
   Dans ce cas, quelle quantité de quintaux doit-elle produire pour obtenir un bénéfice maximum, cette quantité X₁ devant être un nombre entier ?

Exercice 2: Bac L Juin 1995 Antilles-Guyane
Depuis qu'il est à la retraite, un homme tond sa pelouse tous les samedis. Il recueille chaque fois 120 litres de gazon qu'il stocke dans un bac à compost de 300 litres.
Chaque semaine les matières stockées perdent, par décomposition ou prélèvement, les trois quarts de leur volume.
Soient V₁ , V₂ , V₃ les volumes en litres stockés respectivement les premier, deuxième et troisième samedis après le tonte.
De manière générale, soit V_n le volume stocké le n^ième samedi après la tonte.
Les volumes sont exprimés en litre.

1. a) Montrez que V₁ = 120  , V₂ = 150 et V₃ = 157,5.
   b) Calculez V₄ , V₅ et V₆ .
   
   
2. Exprimez V_n+1 en fonction de V_n.
   
   
3. On définit , pour n > 0 , la suite (Tn) par : T_n = 160 - V_n .
   a) Montrez que (T_n) est une suite géométrique. Donnez son premier terme T₁ et sa raison q .
   b) Déduisez-en alors l'expression de V_n en fonction de n.
   c) Quelle est la limite de (V_n) ?

Exercice 3: Voir la Correction
On définit la fonction f de R vers R par la relation :
(C) est la courbe de f dans le plan muni d'un repère orthonormé.
1: a: Montrez que l'ensemble de définition de f est [-1 ; 2].
    b: Pour x appartenant à ]-1 ; 2[ , montrez que la dérivée de f , f '(x) , est du signe de .
    c: Etudiez alors le signe de f '(x) puis formez le tableau de variations de f sur [-1 ; 2].
    d: Montrez que pour tout x dans [-1 ; 2] , on a :

2: Soit (D) la droite d'équation " ".
   a: Montrez que (D) est un axe de symétrie de la courbe (C).
   b: Tracez la courbe (C) ainsi que les droites (D) et la tangente à (C) horizontale.
   c: Montrez que l'équation "f(x) = 2" admet exactement deux solutions que l'on note a et b
      avec a compris entre -1 et 0 et b compris entre 1 et 2.
      Expliquez pourquoi on a : a + b = 1
      Donnez une valeur approchée à 0,001 près par défaut de b.

Exercice 4: Voir la Correction
Pour x réel, on pose f(x) = x³ - 3x² - 9x .
(C) est la courbe de f dans le plan.
1: Etudiez les variations de f sur R.
2: Donnez les solutions réelles de l'équation "f(x) = 0".
3: Soit A un point du plan.
    a: Quelle doit être l'abscisse de A pour que ce point soit un centre de symétrie pour (C) ?
    b: On pose g(x) = f(x +1) + f(-x +1)
        Calculez g(0).
        Déterminez la valeur de g(x) pour x réel quelconque.
        Que peut-on en déduire ?
4: Tracez l'allure de la courbe de f en tenant compte des résultats de la question 3: