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: Corrigé Probleme 19: Bac ES Antilles-Guyane Juin 2000
Partie A
2: f '(x) est donc du signe de (x-2) sur [0;5] et f
'(0) = 0.
D'où, f est décroissante sur [0;2]
et croissante sur [2;5].
De plus, comme
f '(0) = f '(2) = 0, la courbe de f admet aux points d'abscisses 0 et 2 des
tangentes horizontales.
3: La fonction f est strictement décroissante
sur [0;2] et f(0) = 0.
Donc f(x) est <
0 sur [0;2].
De plus, f est strictement croissante
et dérivable sur [2;5].
Donc, l'image de [2;5]
par f est [f(2);f(5)] et f induit une bijection de [2;5] sur [f(2);f(5)].
Or,
f(2) = 8-9ln(3) < 0 et f(5) = 20 - 9ln(6) > 0.
Donc,
0 appartient bien à [f(2);f(5)], il existe bien un unique réel
a dans [2;5] vérifiant f(a)=0.
4:
De
plus, un simple calcul machine montre que f(3,669) est < 0 et f(3,7) est
> 0.
Comme f est strictement croissante sur [2;5],
on a bien 3,699 < a < 3,7.
5:
D'après le tableau de variations de f sur [0;5], on a alors:
f(x)
< 0 sur [0;a] et f(x)
> 0 sur [a;5]
et
f(x) = 0 si et seulement si x = 0 ou x = a.
Partie B
2: a: D'après le résultat de la question 5: Partie
A, on peut dire que C'm(x) est < 0 sur [0;a]
et
C'm(x) est > 0 sur [a;5].
D'où
le tableau de variations de Cm sur [0;5].
Cm
est décroissante sur [0;a] et croissante sur
[a;5].
b: On sait (Voir
le cours) que 
.
On en déduit
que : 
3:
Le coût moyen est minimal pour x = a.
En
euros par tonnes, cela donne : 3700 euros par tonnes.
Le
coût minimal est alors : 2,8 millions d'euros.
Partie C
1: CT est croissant sur [0;5] comme somme
de fonctions croissantes sur [0;5].
2: La dérivée de Ct en
0 est : C'T(0) = 4,5 (simple calcul de dérivée!).
Comme
CT(0) = 0 , l'équation de (T) est : " y = 4,5x ".
3:
g(x) = 4,5x - CT(x).
a: Il suffit
de calculer la dérivée de g qui est : 
et de vérifier que g'(x)
est positif sur [0;5] pour voir que g est bien strictement croissante sur [0;5].
b:
Comme g(0) = 0 , on en déduit que pour tout x dans [0;5], g(x)
> 0.
c: On voit alors que (T) est au-dessus de
(C).
4: 
5:
Si le prix de vente est de 4,5 milliers d'euros par tonne, la question précédente
montre que
le bénéfice est positif
sur [0;5]