Le coût total de fabrication est donné par :
.Les coûts sont exprimés en millions d'euros.
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Problemes PROBLEME
19: D'après Antilles-Guyane Juin 2000 ES Voir
La Correction
Une entreprise fabrique un produit, en quantité x, exprimée
en milliers de tonnes.
Le coût total de fabrication est donné
par :
.
Les coûts sont exprimés en millions d'euros.
Partie A - Etude d'une fonction auxiliaire f définie sur
[0;5]
On considère la fonction f définie sur [0;5] par
:
1: a: Calculez f '(x).
b: Vérifiez
que l'on peut écrire 
2: Etablir le tableau de variation de f sur [0;5].
3: Montrer alors
que l'équation "f(x) = 0" admet dans ]0;5] une solution
unique notée a.
4: Montrer que 3,699 <
a < 3,7. Pour la suite du problème, on
posera dans les calculs a = 3,7
5: Former le tableau
de signes de f(x) sur [0;5].
Partie B - Etude du coût moyen
La fonction coût
moyen Cm est définie sur ]0;5] par:
1: Calculer C'm(x) et vérifier
que l'on peut écrire 
où f est la fonction auxiliaire
définie
dans la partie A.
2: a: Déterminer alors le tableau de variation de
Cm sur ]0;5].
b: Déterminer la
limite de Cm(x) si x tend vers 0.
c:
Tracer l'allure de la courbe de Cm dans un repère orthonormé
(unité = 2cm)
3: Pour quelle production l'entreprise a-t-elle un coût
moyen minimal, exprimé en euros par tonne?
Quel
est ce coût ?
Partie C - Etude du coût total
(C) est la courbe représentative
de CT dans le plan muni d'un repère orthogonal.
(unité
= 2cm en abscisse et 1cm en ordonnée)
1: Quel est le sens de variation
de CT sur [0;5] ?
2: Donner l'équation (T) de la tangente
à (C) au point d'abscisse 0.
3: On pose alors pour x dans [0;5]
, g(x) = 4,5x - CT(x).
a:
Montrer que g est strictement croissante sur [0;5].
b:
Quelle est la valeur de g(0)? que peut-on en déduire pour le signe de
g(x) sur [0;5] ?
c: Etudier alors la position de
(T) par rapport à (C).
4: Tracer sur une même figure (C) et
(T).
5: Le prix de vente du produit est de 4,5 milliers d'euros par
tonnes.
Que peut-on alors dire du bénéfice
de l'entreprise ?