Retour vers l'énoncé de l'exercice     Correction Exercice 1 Problème 20

  1. a: f(0) = 0 , c'est direct:   f '(0) = 2 car le coefficient directeur de la droite (OA) est 2
        et f '(2) = 0 car la tangente au point d'abscisse 2 est horizontale.

     
  2. f(x) = 3ln(x+1) - x.
    a: Le nombre de solutions de l'équation "f(x) = x" est le nombre de point d'intersection entre
        la courbe de f et la droite (D) d'équation "y = x" . On constate qu'il y a deux points d'intersection,
       d'où il y a deux solutions à cette équation.
       On peut remarquer que 0 est solution évidente. On appelle a l'autre solution.
    b: On remarque que sur l'intervalle [0;a], la courbe de f est située au-dessus de la droite (D)
        et en-dessous sur l'intervalle [a ; 5].
        Ceci signifie que f(x) est > x sur [0;a] et que f(x) est < x sur [a ; 5].
        Un simple calcul machine permet alors de voir que f(1,144) est > 1,144 et
        f(1,1441) est < 1,1441.        On a bien 1,44 < a < 1,1441.
    c: Question déjà résolue. Voir au-dessus.
     
  3. Par défintion de la suite, on a : Un+1 = f(Un)
    a: Comme Uo = 0,5 , on a : U1 = f(Uo) = 3ln(1,5) - 0,5 = 0,7163
        De meme, U2 = f(U1) = 0,9042     ,    U3 = f(U2) = 1,0280.
        Les calculs sont faits à 0,0001 près par défaut.
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    c: On sait que pour tous les termes de cette suite sont compris entre 0 et a.
        Or, sur [0 ; a], on sait que f(x) > x . En particulier, on a f(Un) > Un .
        Comme Un+1 = f(Un) , on voit alors que cette suite est croissante.
    d: Si on continue la construction des points, on voit que les suites de points (An) , (Bn) et (Mn)
        tendent vers le point L d'intersection de la courbe de f et de la droite d'équation "y = x" de
        coordonnées (a ; a).
        On peut donc conjecturer que la suite (Un) converge vers a.