Retour vers l'énoncé de l'exercice     Correction Exercice 3 Problème 20
Retour vers l'Accueil du site                       

Partie A:
1: a: On remarque facilement que f est paire: f(x) = f(-x) pour tout x réel.
        La courbe de f est donc symétrique par rapport à l'axe des ordonnées.
    b: Pour tout x reél , on a : f(x) = u(x)/v(x) avec u(x)=ln(x²+1) et v(x)=x²+1.
       
        Sur l'intervalle [0;+oo[, f '(x) est donc du signe opposé à celui de [ln(x²+1)-1].
       Or, pour x > 0, on a ln(x²+1) - 1 > ssi ln(x²+1) > 1 ssi x² + 1 > e ssi x > .
       D'où , f '(x) est positif sur [0 ; ] et négatif sur [;+oo[
       f est donc croissante sur [0 ; ] puis décroissante sur [ ; +oo[.
      On remarque que f '(0) = f '( ) = 0.

2: a: On sait que si x -> +oo alors ln(x)/x tend vers 0.
       Or, si x -> +oo alors (x²+1) -> +oo et donc ln(x² +1)/(x²+1) -> 0
       On voit alors que la limite de f en +oo est 0.
       La courbe de f admet donc l'axe des abscisses comme asymptote en +oo.
       Vue la symétrie de la courbe de f par rapport à l'axe des ordonnées,
       l'axe (xx') est aussi asymptote en -oo.
   b: f( )= e^-1 .
      D'après le tableau de variations de f sur [0 ; +oo[, on voit que f admet un maximum
       en et que ce maximum est e^-1 . Donc, pour tout x positif, on a bien f(x) < e^-1 .
       De plus, comme (x²+1) est > 1 , on en déduit que ln(x²+1) est > 0 , d'où 0 < f(x).

3: a:

   b: On remarque que la droite d'équation y = 0,2 a 4 points d'intersection avec la courbe de f.
       D'où, 4 solutions pour l'équations " f(x) = 0,2"

  c: Comme, sur [0 ; +oo[, la courbe de f est au-dessus de la droite " y = 0,2" sur l'intervalle
      [a ; b], on a déduit que f(x)-0,2 est positif sur [a ; b] et négatif sur [0 ; a] U [ b ; +oo[.

Partie B:
1: a: D'après le dernier résultat obtenu dans la partie A, on voit que la vente du produit est
       rentable sur [a ; b]. Ceci correspond à la période allant de la 1,54^ème année à la 3,42^ème année.
   b: La part de marché est maximale pour t = = 1,31 à 0,01 près par défaut.
        Comme f( ) = 0,36 à 0,01 près par défaut, la part de marché maximale est 36%.

2: On cherche à résoudre l'équation f(t) < 0,15 avec t > 1,31.
    On obtient , à 0,01 près défaut: " t < 4,35 ".
    Le produit sera donc retiré du marché au bout de 4,35 années