f(x)=aln(x+1)+bx , où a et b sont deux réels fixés. f ' désigne la fonction dérivée de f sur [0;5].
La courbe (Cf) de f est indiquée dans le figure 1:
Retour Choix
Problemes PROBLEME
20: 3 Exercices longs pour Révision
Exercice 1: Voir la correction de cet exercice
f est une fonction définie sur l'intervalle [0;5] par
la relation:
f(x)=aln(x+1)+bx , où a et b sont deux réels fixés.
f ' désigne la fonction dérivée de f sur [0;5].
La
courbe (Cf) de f est indiquée dans le figure 1:
1: a: Indiquez les valeurs de f(0)
,f '(0) et f '(2).
b: Donnez alors un système d'équation
dont les solutions sont a et b.
c: Déterminez
les valeurs de a et de b.
2: On pose alors f(x) = 3ln(x+1)-x.
a:
Déterminez le nombre de solution de l'équation "f(x)
= x , x dans [0;5] "
b: Soit a
la solution de cette équation différente de 0.
Justifiez
que a soit strictement compris entre 1,144 et 1,1441.
c:
Etudiez la position de (Cf) par rapport à la droite (D) d'équation
" y = x ".
3: On définit alors la suite (Un)
par les relations suivantes:
U0
= 0,5 et pour tout n entier naturel, Un+1
= f(Un).
On admet que
pour tout n, Un appartient à l'intervelle [0
; a].
a: En
utilisant votre machine à calculer, donnez une valeur approchée
de Un pour n=1 , 2 et 3.
à
0,0001 près par défaut.
b:
An , Bn et Mn sont les points de coordonnées respectives:
(Un
; 0) , (Un ; Un+1)
et (Un+1 ; Un+1)
Placez
sur la figure les points A1 , B1 , M1 , A2
, B2 , M2 , A3 , B3 , M3.
c:
Expliquez pourquoi pour tout n entier naturel, on a: f(Un)
> Un.
Que
peut-on en déduire pour le sens de variation de la suite (Un)
?
d: En utilisant la construction des
suites de points An, Bn et Mn,
que peut-on conjecturer sur
la
limite de la suite (Un)?
L'espace (E) est muni d'un repère orthonormé
.
(P) et (Q) sont les deux plans de (E) d'équations respectives
:
"2x
+ 3y + 4z = 12" et "x
+ 5y + 2z = 10"
1: a: Justifiez que l'intersection de
ces deux plans est une droite (D).
b:
A , B et C sont les points d'intersection entre le plan (P) et les 3 axes de
coordonnées.
D , E
et F sont les points d'intersections entre le plan (Q) et les 3 axes de coordonnées.
A
et D sont sur l'axe des abscisses et B et E sur l'axe des ordonnées.
Déterminez
les coordonnées des six points A , B , C , D et F.
Placez
ces points sur une figure puis représentez les plans (P) et (Q).
c:
Montrez que les droites (AC) et (DF) sont parallèles.
2: On appelle I le point d'intersection des droites (AB)
et (DE), et J le point d'intersection des
droites
(BC) et (EF).
a: Vérifiez que les coordonnées
de I sont: 
et que celles de J sont : 
.
b: Quelle est la droite (D)?
justifiez votre réponse.
3: (C) est l'ensemble des points de (E) dont les coordonnées
vérifient le système:
a: Quel est l'ensemble(C) ?
b:
Représentez sur la figure le plan (R) d'équation " x
+ 5y + z = 10 ".
c: Pour quel
triplet d'entiers ( x , y , z ) vérifiant le système
(S), a-t-on "x + 5y + z" maximal ?
Quel
est ce maximum ?
Exercice 3 Voir la correction de cet exercice
Pour x appartenant à IR ,
on définit la fonction f suivante: 
On
appelle (C) la courbe représentative de f dans le plan muni d'un repère
orthogonal 
.
Unité sur l'axe
des abscisses = 2cm , Unité sur l'axe des ordonnées = 12 cm.
Partie
A:
1: a: Quelle est la parité de f ? Que peut-on en déduire
pour la courbe de f ?
b: Montrez que pour tout x
réel, on a: 
.
Formez
alors le tableau de signes de f '(x) sur l'intervalle [0;+oo[
puis
formez le tableau de variations f sur [0;+oo[.
2: a: Déterminez 
et donnez une interprétation graphique de ce résultat.
b:
Donnez la valeur exacte de 
.
Montrez
alors que pour tout x réel, on a 
3: a: Tracez la courbe (C) en précisant les tangentes
aux points d'abscisses 0 et 
.
b:
Par lecture graphique, indiquez le nombre de solutions réelles de l'équation
"f(x) = 0,2 ".
On
appelle a et b les deux
solutions positives de cette équation avec a
< b .
On
admet que des valeurs approchées à 0,01 près par défaut
de ces valeurs sont:
a
= 0,54 et b =
3,42.
c: Formez le tableau de signes de (f(x)
- 0,2) sur l'intervalle [0 ; +oo[.
Partie B:
Une entreprise E lance un nouveau
produit P sur un marché à forte concurrence.
La part de marché
que peut espérer l'entreprise pour son produit est: f(t) , où
t est l'age du produit
exprimé en année.
La
vente de ce produit est rentable si la part de marché dépasse
20%.
1: a: Sur quelle période de la vie du produit P,
la vente de ce produit est-elle rentable ?
b:
A quel moment la part de marché de ce produit sera maximale?
Quel
sera alors cette part de marché ?
2: L'entreprise décide de retirer le produit P
de la vente dès que sa part de marché passera en
dessous
de 15%.
A quel moment retirera-t-elle son produit
du marché?