Retour vers le Problème   Correction Problème 21  Bac ES

Partie A: Etude d'une fonction auxiliaire.

1. La fonction g est somme de fonctions strictement croissantes sur I = ]0;+oo[. Elle est donc elle-même strictement croissante sur cet intervalle. On peut aussi calculer sa dérivée et voir que celle-ci est strictement positive sur I.
2. g(0,5) = -0,875 - ln(2) = -1,57 à 0,01 près par défaut
   g(1) = 0  , valeur exacte
   g(2) = 7 + ln(2) = 7,69 à 0,01 près par défaut
   g(e) = e³ = 20,08 à 0,01 près par defaut.
3. Comme g est strictement croissante sur I et que g(1) = 0, on en déduit que g est <0 sur ]0;1[ et que g est > 0 sur ]1;+oo[.
   
   

Partie B : Etude de f.

1. 1. Le calcul de la dérivée de f est sans problème.
      
   2. On remarque alors que .
      f '(x) et   g(x) sont donc de signe contraires.
   3. On forme alors le tableau de signes de f '(x) en utilisant le résultat de la question PartieA:3: puis le tableau de variations de f sur I.
      f est croissante sur ]0;1] et décroissante sur [1;+oo[.
   4. 
      
      
   5. D'après les variations de f sur I, on sait que f admet un maximum absolu en 1.
      C'est à dire que pour tout x dans I, f(x) < f(1). Or f(1) = 1,5 donc
      pour tout x dans I, on a bien  f(x) < 1,5.
2. A point de (C) d'abscisse e.
   1. f(e) = e^-1 - 0,5e² + 2  et  f '(e) = -e.
      Equation de la tangente en A :   y = -ex + 0,5e² + e^-1 + 2.  
   2. 

1. Signe de f(x)
   1. On peut remarquer que la courbe de f a deux point d'intersection avec l'axe des abscises, d'où deux solutions pour l'équation "f(x) = 0".
      On peut aussi s'appuyer sur les variations de f et remarquer que f est dérivable et strictement croissante sur ]0;1[. Comme f(1) > 0 et que f tend vers -oo en 0, on en déduit que l'équation admet une unique solution entre 0 et 1. Même chose sur [1 ; +oo[.
      On a donc une solution notée a sur ]0;1[ et une solution notée b sur ]1;+oo[.
   2. Les encadrements demandés se justifient par l'observation des signes de f(0,4358) , f(0,4359) , f(2,1712) et f(2,1713).
   3. D'après le tableau de variations de f (ou une simple observation de sa courbe), on peut dire que:
      f(x) < 0 sur ]0;a ]  ,   f(x) > 0 sur [ a ; b ]  ,   f(x) < sur [b ; +oo[.
2. F(x
   1. Le calcul de la dérivée de F ne pose aucune difficulté
      et on remarque que F'(x) = f(x).
   2.  
   3. Comme on connait le tableau de signes de f (x) , on connait celui de la dérivée de F, donc on connait le tableau de variations de F sur ]0;+oo[.