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On définit la fonction f sur ]0;+oo[ par la relation:
Le but du problème est l'étude de f .

Partie A: Etude d'une fonction auxiliaire.
On pose, pour x > 0,
1: Etudiez les variations de g sur ]0;+oo[
2: Calculez les valeurs suivantes : g(0,5) , g(1) , g(2) , g(e)
(on demande les valeurs exactes puis de donner une valeur approchée à 0,01 près par défaut)
3: Formez le tableau de signes de g( x ) sur ]0;+oo[ en le justifiant.

Partie B: Etude de f .
On appelle (C) la courbe représentative de f dans le plan muni d'un repère orthonormé.

1: a : Calculez la fonction dérivée de f, fonction notée f ' .
    b : Donnez une relation entre f '( x ) et g( x ) .
    c : Formez alors le tableau de signes de f ' ( x ) puis le tableau de variations de f sur ]0;+oo [.
    d : Etudiez la limite de f en 0 et en + oo .
    e Montrez que pour tout x > 0 , on a :
2: A est le point de (C) d'abscisse e.
    a : Donnez une équation de la tangente ( T_e ) à (C) au point A.
    b : Tracez la courbe (C) ainsi que ( T_e ) et la tangente à (C) au point d'abscisse 1.

Partie C: Etude de l'équation "f( x ) = 0 , x > 0"

1: a : Montrez que l'équation "f( x ) = 0 , x > 0" admet exactement deux solutions
         que l'on notera  a et   b avec  a<b .
    b : Justifiez les encadrements suivants: 0,4358 < a < 0,4359 et 2,1712 < b  < 2,1713.
   c : Donnez en fonction de a et b le tableau de signes de f( x ) sur ]0;+oo[
2: On pose alors pour x > 0 ,
    a : Calculez la fonction dérivée de F sur ]0;+oo[.
   b : Que pouvez-vous remarquer?
   c : Quel est le tableau de variations de F sur ]0;+oo[ . Justifiez votre réponse!