Correction 3 Exercices Bac ES National Juin 2002

Exercice 1 commun  Correction  Retour à l'exercice

1. Le point moyen G a pour coordonnées ( 4, 796).
   (voir courbe ci-après).

2)a) Le coefficient de corrélation linéaire de la série (x_i, y_i) est r = 0,964 à 10^-3 près par défaut.
Un ajustement affine est justifié car r est très voisin de 1. On dit qu'il y a une très forte corrélation entre x_i et y_i.
b) L'équation de la droite d'ajustement affine D de y en x par la méthode des moindres carrés est :
Y = 138,183 x + 242,933 .   La droite D passe par les points (0, 242) et (4, 796)

c) Pour donner une estimation de la dépense des ménages en produits informatiques en 2000, on pose x = 10.
On a donc Y = 138,183 ´ 10 + 242,933   soit 1625 millions d'euros.

3) On pose z_i = ln (y_i)
a)

b) Le coefficient de corrélation linéaire de la série (x_i, z_i) est : r = 0,974.
L'équation de la droite d'ajustement affine de Z en x par la méthode des moindre carrés est : Z = 0,178 x + 5,855
c) Une estimation de la dépense des ménages en produits informatiques en 2000 est
Z = 0,178 ´ 10 + 5,855    ,    Z = 7,635    Donc y = e^7,635   soit 2069 millions d'euros.

4) La dépense en produits informatiques en 2000 est 68,9 ´ 10³ ´ 3,1/100  soit 2136 millions d'euros.
L'ajustement exponentiel donne une meilleure estimation que l'ajustement affine. 

Exercice 2 Spécialité (Correction)  Retour à l'exercice
1)
   a) p(A_n+1 | A_n) = 1/5   p(A_n+1 | B_n) = 2/5

   b)  On sait que donc  p(A_n+1 Ç A_n) = p(A_n+1 | A_n) ´ p(A_n)
           soit p(A_n+1 Ç A_n) = 1/5 p_{n .}
        On a aussi donc p(A_n+1 Ç B_n) = p(A_n+1 | B_n) ´ p(B_n)
       soit p(A_n+1 Ç B_n) = 2/5 q_n
         On sait que A_n+1 = (A_n+1 Ç A_n) È (A_n+1 Ç B_n) d'où p(A_n+1) = p(A_n+1 Ç A_n) + p(A_n+1 Ç B_n)
        car les événements sont incompatibles.  d'où p(A_n+1) = 1/5 p_n + 2/5 q_n

       p(A_n+1) = 1/5 p_n + 2/5 (1 - p_n)   ,  p(A_n+1) = 1/5 p_n + 2/5 - 2/5 p_{n   ,}   p(A_n+1) = 2/5 -1/5 p_n
        Comme p(A_n+1) = p_n+1   on a alors p_n+1 = 2/5 - 1/5 p_n

2) Pour n ³ 1, on pose u_n = p_n - 1/3
     Pour montrer que (u_n) est une suite géométrique il suffit de montrer qu'il existe un réel q appelé raison
     tel que u_n+1 = q u_n. On a donc :
   u_n+1 = p_n+1 - 1/3
   u_n+1 = (2/5 - 1/5 p_n) - 1/3
   u_n+1 = - (1/5) p_n + 1/15
   u_n+1 = - (1/5) (p_n - 1/3)
   soit u_n+1 = - (1/5) u_n.
    Donc (u_n) est une suite géométrique de raison -1/5 et de premier terme u₁ = p₁ - 1/3 = 1/2 - 1/3 soit u₁ = 1/6

3)   u_n = u₁ q ^{n - 1}  ,  u_n = 1/6 ´ (- 1/5)^{n - 1  .}  Comme p_n = u_n + 1/3, on en déduit que
      p_n = 1/6 ´ (- 1/5) ^{n - 1} + 1/3.
     Comme  car |1/5| < 1 , on a alors

Exercice 2 Non Spécialité  Retour à l'exercice
1) Appelons F l'événement : "la réponse a été envoyée par une fille". On peut traduire l'énoncé à l'aide de l'arbre pondéré suivant :

a) ou encore d'où
     La probabilité pour qu'il poursuive ses études est 0,18.

b)   d'où
     La probabilité pour qu'il exerce une activité professionnelle est 0,61.

2)    d'où et donc .
    En prenant une personne qui poursuit ses études, la probabilité pour que ça soit une fille est

3) Nous sommes dans un schéma de Bernoulli. On choisit 3 personnes de façon indépendante avec remise. La situation peut être matérialisée par l'arbre suivant.

Pour déterminer la probabilité qu'une réponse au moins soit celle d'un jeune diplômé poursuivant ses études, il est plus facile de calculer la probabilité de l'événement contraire, c'est-à-dire que toutes les réponses soient celles d'un jeune diplômé ne poursuivant pas ses études.
Ce qui nous donne (0,82)³ = 0,551368.  La probabilité cherchée est : 1 - (0,82)³ = 0,448632

4) Pour calculer la moyenne d'une série statistique continue, on prend les centres des classes.
 et donc :
Le salaire brut moyen sera de 30 630 ?.