Retour au Problème :         Correction Problème 24 : Bac ES Juin 2002
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Partie A

1.a. On sait que et , donc :

1.b. f(x) = u(x)v(x) avec u(x) = x² - 3x + 3 et v(x) = e^x. Comme (uv)' = u'v + uv' et que
       u'(x)= 2x - 3 et v'(x) = e^x , on a :     f '(x) = (2x - 3)e^x + (x² - 3x + 3)e^x
                                                                                  = e^x(x²-x)
                                                                               = xe^x(x-1).
Or, pour tout réel x , e^x > 0 donc f'(x) est du signe de x(x-1) pour tout réel x .
Donc f ' (x) > 0 si et seulement si x > 1 et f ' (1) = 0 , f ' (0) =0
D'où le tableau de signe de f'(x) et  le tableau de variation .
On remarque que f(0) = -1 et f(1) = e-4.
 

2. Sur [0 ; 1], f est strictement décroissante et f(0) < 0 . Donc pour tout réel x apartenant à [0; 1], f(x)<0.
De plus, sur l'intervalle ]1 ; 2[ la fonction f est dérivable et strictement croissante.
Comme f(1) = e - 4 < 0 et f(2) = e²-4 > 0 , il existe donc une unique valeur x₀ qui appartient à ]1 ; 2[ telle que f(x₀) = 0.
Comme f est strictement croissante sur [2 ; +oo[ et que f(2) > 0 , pour tout réel x >2 , on a f(x) > 0.
Conclusion.
L'équation "f(x)=0" admet bien une unique solution x₀ qui appartient à ]1 ; 2[.
x₀ = 1,645 à 10^-3 près par défaut.

3. On en déduit alors que
   "f(x) > 0 si et seulement si x > x₀" et   "f(x) < 0 si et seulement si 0 < x < x₀ " .

Partie B
C_T(x) = (x-3) e^x + 3x + 4  ,   C_m(x) = C_T(x) / x
1.

Comme x²  > 0 ur  ]0 ; 3], C'_m(x) est bien du signe de f(x) sur ]0 ; 3].
D'après l'étude du signe de f(x) faite dans la question Partie A 3. on en déduit le tableau de signe de C'_m(x) puis le tableau de variations de C_m sur ]0;3].

2. Le coût moyen est minimum lorsque x = x₀ soit pour une production de 1645 kg de produit et un coût moyen minimum de 116000 euros.

Partie C
1.a.  B(x) = (Prix de vente total ) - Coût Total.  L'unité étant la centaine de milliers d'euros, le prix de vente total de x tonnes en centaines de milliers d'euros est 3x. Le bénéfice est donc:
B(x) = 3x - C_T(x)  = 3x - (x - 3) e^x + 3x - 4 = - (x - 3) e^x - 4 = (3 - x) e^x - 4 .

1.b. Pour étudier les variations de B, on calcule sa fonction dérivée dont on étudie le signe . Or:
B' (x) = - e^x + (3 - x) e^x = e^x (3 - x - 1) = e^x (2 - x).  Comme e^x > 0 sur R , on en déduit que B'(x) est du signe de (2-x).
d'où : B' (x) > 0 si et seulement si  0 <  x  < 2  et  B'(2) = 0.  D'où le tableau de signes de B'(x) et le tableau de variations de B.

1.a.

1.b. L'entreprise réalisera un gain si la production est comprise entre 0,45 tonnes et 2,74 tonnes.