Retour au Choix des Problèmes :    PROBLEME 24  BAC ES National Juin 2002 : 3 Exercices et Problème

Exercice 1:  Commun à tous les candidats  Voir la Correction
Les résultats numériques seront obtenus à l'aide de la calculatrice ; aucun détail des calculs statistiques n'est demandé.

Le tableau suivant donne la dépense, en millions d'euros, des ménages en produits informatiques (matériels, logiciels, réparations) de 1990 à 1998.

Source INSEE

1. Représenter le nuage de points associé à la série statistique (x_i, y_i) et le point moyen dans un repère orthogonal tel que 2 cm représentent une année en abscisse et 1 cm représente 100 millions d'euros en ordonnée (ainsi 398 sera représenté par 3,98 cm).

2.a. Donner la valeur arrondie à 10^-3 du coefficient de corrélation linéaire de la série(x_i, y_i).
     Un ajustement affine paraît-il justifié ?

  b. Ecrire une équation de la droite d'ajustement affine D de y en x par la méthode des moindres carrés (les coefficients seront arrondis à 10^-3). Représenter D dans le repère précédent.

  c. En utilisant cet ajustement affine, donner une estimation de la dépense des ménages (arrondie à un million d'euros) en produits informatiques en 2000.

3. L'allure du nuage permet d'envisager un ajustement exponentiel. On pose z_i = ln y_i

  a. Recopier et compléter le tableau suivant où z_i est arrondi à 10^-3 :

  b. Donner la valeur arrondie à 10^-3 du coefficient de corrélation linéaire de la série(x_i, z_i).
      Ecrire une équation de la droite d'ajustement affine de z en x par la méthode des moindres carrés.
      (les coefficients seront arrondis à 10^-3)

  c. En utilisant cet ajustement, donner une estimation de la dépense des ménages (arrondie à un million d'euros) en produits informatiques en 2000.

4. En 2000 les ménages ont dépensé 68,9 milliards d'euros pour la culture, les loisirs et les sports et 3,1% de ces dépenses concernent les produits informatiques.
   Avec lequel des deux ajustements l'estimation faite est-elle la meilleure ?

Exercice 2: Spécialité  Voir la Correction
 Julie possède depuis plusieurs mois un téléphone mobile pour lequel elle a souscrit un forfait mensuel de deux heures. Soucieuse de bien gérer ses dépenses, elle étudie l'évolution de ses consommations.
Elle a constaté que :
  * Si pendant le mois noté n elle a dépassé son forfait, la probabilité qu'elle le dépasse le mois suivant noté (n + 1) est .
  * Si pendant le mois noté n elle n'a pas dépassé son forfait, la probabilité qu'elle le dépasse le mois suivant est .

Pour n entier naturel strictement positif, on désigne par A_n l'événement "Julie a dépassé son forfait le mois n " et par B_n l'événement contraire.
On pose p_n = p(A_n) et q_n = p(B_n) ; on a p₁ = 1 / 2.

Tous les résultats seront donnés sous forme de fractions irréductibles.

1.a. Donner les probabilités de A_n+1 sachant que A_n est réalisé et de A_n+1 sachant que B_n est réalisé.
   b. Montrer que pour tout entier naturel n non nul, les égalités suivantes sont vraies :
      et
     En déduire que l'égalité suivante est vraie :

2. Pour tout entier naturel n > 1 on pose : .
   Montrer que la suite (u_n) est une suite géométrique dont on précisera la raison et le premier terme u₁.

3. Ecrire u_n puis p_n en fonction de n. Déterminer la limite de (p_n)

Exercice 2 : Non Spécialité  Voir la Correction
Une école de commerce a effectué une enquête, en janvier 2000, auprès de ses jeunes diplômés des trois dernières promotions afin de connaître leur insertion professionnelle.

A la première question, trois réponses seulement sont proposées :
       A "La personne a une activité professionnelle"
       B "La personne poursuit ses études"
       C "La personne recherche un emploi ou effectue son service national".

On a constaté que 60% des réponses ont été envoyées par des filles.
Dans l'ensemble des réponses reçues, on a relevé les résultats suivants :

• 65% des filles et 55% des garçons ont une activité professionnelle ;
• 20% des filles et 15% des garçons poursuivent leurs études.

1. On prend au hasard la réponse d'un jeune diplômé.
      a) Montrer que la probabilité qu'il poursuive ses études est égale à 0,18.
      b) Calculer la probabilité qu'il exerce une activité professionnelle.
2. On prend au hasard la réponse d'une personne qui poursuit ses études ; quelle est la probabilité que ce soit la réponse d'une fille (on donnera le résultat sous forme fractionnaire)?
3. On choisit maintenant au hasard et de façon indépendante trois réponses (on suppose que ce choix peut être assimilé à un tirage successif avec remise).
   A l'aide d'un arbre pondéré, déterminer la probabilité que l'une au moins des réponses soit celle d'un jeune diplômé poursuivant ses études.
4. Dans l'ensemble des réponses des jeunes diplômé exerçant une activité professionnelle,
   la répartition des salaires bruts annuels en milliers d'euros est la suivante :

Quel est le salaire brut annuel moyen ?

Problème  Voir la Correction

PARTIE A
On considère la fonction f définie sur [0 ; +oo[ par : f(x) = (x² - 3x +3)e^x - 4.

1. a. Déterminer la limite de f en +oo
     b. Etudier les variations de f sur [0 ; +oo[

2. Montrer que l'équationf(x) = 0 admet une solution unique x₀ appartenant à ]1 ; 2 [
     Donner une valeur arrondie à 10^-3 de x₀

3. Déduire des résultats précédents le signe de f(x) sur [0 ; +oo[ .

PARTIE B
Une entreprise fabrique un produit, en quantité x exprimé en tonnes, sa capacité de production ne pouvant dépasser 3 tonnes. Le coût total de fabrication de ce produit, en centaines de milliers d'euros, est donné par :
C_T(x) =  (x - 3)e^x + 3x + 4

Le coût moyen est défini sur ] 0 ;3] par la formule suivante :
1. Pour tout x de ] 0 ; 3] calculer C'_m(x) et vérifier que l'égalité suivante est vraie : .
    En déduire le sens de variation de C_m sur ] 0 ;3]

2. Pour quelle production l'entreprise a-t-elle un coût minimum ?
    Quel est le coût moyen minimum (arrondi au millier d'euros) d'une tonne de ce produit ?

PARTIE C
Une tonne du produit fabriqué est vendue 300 000 euros; toute la production est vendue.

1. a. Le bénéfice algébrique, en centaines de milliers d'euros, réalisé après la fabrication et la vente de x tonnes du produit est noté B(x).
Montrer l'égalité suivante :   B(x) = (3 - x)e^x - 4.
     b. Etudier le sens de variation de B sur [0 ; 3]. Quelle est la production pour laquelle le bénéfice est maximum ?

2. a. Tracer la courbe représentative de B dans un plan muni d'un repère orthogonal
          (unités graphiques: 5 cm pour une tonne en abscisse et 2 cm pour 100 000 euros en ordonnée).

     b. A l'aide du graphique, déterminer à 0,1 près les quantités à produire pour que l'entreprise réalise un gain.