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Exercice 1:
 f est une fonction continue et dérivable sur l'intervalle [0;3]. On connait la courbe de f. (Voir Figure 1)
On sait que cette courbe admet aux points d'abscisses 1 , 2 et 2,5 des tangentes horizontales.
On sait de plus que f(0,5) = 0,4 , f(1) = -0,5 , f(2) = 0 , f(2,5) = -0,08 et f(3) = 0,5.

1 a:Dresser le tableau de variations de f sur [0,5 ; 3] et le tableau de signes de f ' , fonction dérivée de f.
   b:On sait que la tangente (T) à la courbe de f au point d'abscisse 3 passe par le point A de coordonnées (2 ; -2,5).
   c:Donner alors une équation de (T).

Par lecture graphique, on voit qu'il existe 3 réels vérifiant l'équation "f( x ) = 0".
Un de ces réels est 2. On note a et b les deux autres avec a <  b .

2: a:Donner, par lecture graphique, des valeurs approchées à 0,1 près par défaut de ces deux valeurs.
   b:Former le tableau de signes de f sur [0,5 ; 3].

F est une fonction dérivable sur [0,5 ; 3] admettant pour dérivée f.
3: a:Former le tableau de variations de F.
   b:On sait que F(a)=0 et F(3) < 0 . Que peut-on en déduire pour la fonction F ?
   c:On sait que F(1) = -0,1 . Quelle est une équation de la tangente à la courbe de F au point d'abscisse 1 ?
On définit maintenant la fonction g sur l'intervalle [0,5 ; 3] par : [Maple Math] .
4: a: Quel est l'ensemble de définition de g ?
    b: Déterminer [Maple Math] et [Maple Math]
   c: Former le tableau de variations de g.

On définit maintenant la fonction h sur l'intervalle [0 ; 2,5] par : h( x ) = f( x + 0,5) + 0,5.
5: a: Tracer la courbe de h.
   b: Montrer que pour tout x appartenant à [0 ; 2,5] , h( x ) > 0.
   c: m est un réel tel que l'équation "h( x ) = m " admette exactement 2 solutions dans l'intervalle [0 ; 2,5].
      A quel ensemble appartient m ?

 

 

 

Exercice 2:
On définit sur l'intervalle [0;1] la fonction [Maple Math] .
On appelle (Cf) sa courbe dans le plan muni d'un repère orthonormé.(unité=10cm).
1:a:Etudiez les variations de f sur [0;1].
   b:Montrer que pour tout x dans [0;1], on a : [Maple Math] < 1.
  c:Montrer que la courbe (Cf) et la droite (D) d'équation " y=x " ont un unique point d'intersection L
    dont on donnera les coordonnées
  d:Tracer la courbe (Cf) et la droite (D) en précisant le point L.

On définit alors la suite ( Un ) par les relations : " U0=0 et pour tout n entier naurel , Un+1 = f(Un).
2:a:Calculez U1 , U2 et U3
   b:En utilisant le graphique précédent, placer les points An de coordonnées (Un ; 0 ) pour n=0 , 1 , 2 , 3 , 4 et 5.
     On expliquera la méthode choisie pour placer A4 et A5 .
   d:Que peut-on conjecturer concernant la limite de la suite ( Un ) ?

Exercice 3:
Un jardinier veut garnir un massif avec des tulipes (en quantité x ) , des jacinthes ( en quantité y ) et des narcisses ( en quantité z ). La surface du massif lui permet de planter au maximum 180 fleurs.  Le prix unitaire d'une tulipe est 2 euros, celui d'une jacinthe est 3 euros et celui d'un narcisse est 1 euros. Le jardinier dispose seulement de 300 euros pour acheter les fleurs. Les quantités de fleurs sont des nombres entiers positifs.

1: Traduire les contraintes du jardinier par un système d'inéquations.

2: On définit dans l'espace (E) muni d'un repère orthonormé , les plans (P) et (Q) d'équations catésiennes respectives:
     (P) : x + y + z = 180       ,      (Q) : 2x + 3y + z = 300.
     a: Déterminer les points d'intersection entre (P) et les axes de coordonnées , puis représenter le plan (P).
         Faire de même pour le plan (Q).
      b: Montrer que l'intersection de (P) et (Q) est une droite (D).
          Vérifier que le point A d'intersection entre (D) et le plan d'équation "x=0" a pour coordonnées (0 ; 60 ; 120).
          Vérifier que le point B d'intersection entre (D) et le plan d'équation "y=0" a pour coordonnées (120 ; 0 ; 60)
       c: Placer les points A et B sur la figure puis faire apparaître le segment [AB].

3: Le propriétaire du jardin décide que le nombre de tulipes doit être exactement égal à 100 pour
     des raisons qui ne regardent que lui!
     a: Quelles sont les nouvelles contraintes qui se posent au jardinier ?
     b: Celui-ci décide que les 300 euros du propriétaire seront dépensés et que les 180 fleurs seront bien
         plantées dans le massif. Combien doit-il alors planter de jacinthes et de narcisses ?
     c: Représenter sur la figure la nouvelle contrainte posée par le propriétaire ainsi que la solution choisie par le jardinier.