Problème 9
Aix-Marseille 1991

Partie A On utilisera pour cette question la courbe ci-dessous qui représente une fonction numérique f.

1. Etudiez graphiquement le signe de f(x) lorsque x est un réel distinct de -2 et 4.
   
2. On considère les fonctions numériques f₁ , f₂ , f₃ définies par :
   
   Sachant que la fonction f est l'une d'entre elles, déterminez laquelle.
   On peut s'intéresser aux valeurs qui annulent le dénominateur, ainsi qu'à la valeur de f(0).

Soit g la fonction numérique définie sur ]-2;4[ par :
On note (C) sa courbe représentative dans le plan rapporté à un repère orthonormé d'unité graphique 3 cm.

1. Etude de g
   1. Déterminez les limites de g aux bornes de son ensemble de définition.
      Déduisez-en l'existence d'asymptotes pour la courbe de (C).
   2. Calculez la dérivée de g notée g '.
      Après avoir reconnu dans la fonction g ' l'une des fonctions f₁ , f₂ , f₃ , sur l'intervalle ]-2;4[, étudiez les variations de g.
   3. Déterminez une équation de la tangente (T) à (C) au point I d'abscisse 1.
   4. Tracez (C) et (T).
2. La droite parallèle à l'axe des ordonnées, d'équation "x = 3", coupe (T) en A, (C) en B et l'axe des abscisses en D.
   1. Calculez l'aire en cm² des triangles IAD et IBD.
   2. On note D l'aire en cm² de la région de plan limitée par la courbe (C), la droite des abscisses, les droites d'équation "x = 1 " et "x = 3".
      On admet que l'arc de courbe (C) pour les valeurs de x de l'intervalle [1;3] est à l'intérieur du triangle IAB.
      Donnez un encadrement de D
   3. On considère la fonction G définie sur l'intervalle [1;3] par : G(x) = (x + 2)ln(x + 2) - (x - 4)ln(4 - x)
      • Calculez G '(x).
      • Calculez et déduisez de ce calcul la valeur exacte de D.

Exercice D'après Japon 95:
Soit g la fonction numérique sur IR définie par : g(x) = -x³ -3x² +20 .

1. Etudiez les variations de g. calculez g(2).
   Déterminez alors l'ensemble des réels x tels que g(x) soit > 0.
2. On pose alors h comme étant la fonction numérique définie sur l'intervalle I = ]- ; 2[ par:

   h(x) = ln(-x³ -3x² +20)

   1. En utilisant la question 1, justifiez que h est bien définie sur I.
   2. Déterminez les limites de h en - et en 2.
   3. Formez le tableau de variation de h.
   4. Montrez que l'équation "h(x) = 2" admet une unique solution a dans l'intervalle [-2;2[.
   5. Calculez une valeur approchée de a à 10^-2 près par excès.